더 높은 차원의 포물선 PDE (다 전자 슈뢰딩거 방정식)를 푸는 데있어 현재의 최신 기술은 무엇입니까?

간단한 극점 (형태 1 의)으로 복잡한 영역에서 더 높은 차원의 (3-10) 포물선 PDE를 해결하기위한 최신 기술은 무엇입니까?) 및 경계 조건을 흡수합니까?$\frac{1}{|\vec{r}_1 - \vec{r}_2|}$

특히 다중 전자 슈뢰딩거 방정식을 푸는 데 관심이 있습니다.

$\left( \sum_i \sum_{j\neq i}\left[ -\frac{\nabla_i^2}{2 m} - \frac{Z_i Z_j}{|\vec{r}_i - \vec{r}_j|} + V(\vec{r}_i, t) \right]\right)\psi = -i\partial_t \psi$

전자가 1 개 이상인 이원자 분자.

방정식의 해는 전자의 수가충분히 적 으면전통적인방법을사용할 수 있습니다. 도메인 이산화 방법 (유한 차이, 유한 요소, 경계 요소) 또는 유사 스펙트럼 방법과 유사합니다. 이 방정식을 푸는 것이 다차원 파동 방정식을 푸는 것보다 어렵지 않습니다.

더 큰 시스템의 경우 솔루션을 얻기 위해 약간의 트릭 이 필요합니다. 우리는 전자의 상호 작용에 대한 전자-전자 상호 작용을 전자 구름 (나머지의 평균 필드 근사)으로 대체 한 다음 평균 필드에서 오는 비선형 성으로 인해 일관된 방식으로 해결합니다. 기간). 이것은 Hartree-Fock and Density Functional Theory (DFT) 에서 이루어집니다 . 원래의 미분 방정식이 변형 공식으로 변환되는 경우.

DFT는 오늘날 가장 일반적인 방법이며, 모든 방정식은 파동 방정식이 아닌 전자 밀도로 공식화된다는 장점이 있습니다. 따라서 방정식은 3 차원 공간에 있습니다. 이 두 가지 방법을 모두 설명하는 한 권의 책은

• Thijssen, Jos. 전산 물리학. Cambridge University Press, 2007. 아마존 링크 .

3 ~ 10 개의 파티클 시스템 (파티클 당 3D)을 해결하고 싶습니까? 내가 아는 한, 평균 필드 이론은 너무 적은 입자에 대해 특히 잘 작동하지 않지만 이원자 분자에 대한 DFT 작업이있는 것 같습니다.

Born-Oppenheimer가 유효한 시스템입니까? 그렇다면, 나는 슬레이터의 선형 조합이 가능한 스파 스 그리드를 사용하여 결정 또는 스펙트럼 스파 스이 그리드를 사용하여 전자 파동 함수를 확장하는 경향 수 있습니다 본 논문은 아마도 도움이 될 수 .

경계 조건을 흡수한다고 언급했다는 사실이 이온화 / 해리와 관련된 문제를 생각하고 있음을 시사하지만, 다른 옵션은 단단한 바인딩 방식을 사용하는 것입니다. TB는 대부분 저수준 상태를 근사하려고 할 때 유용합니다.

다중 구성 시간 종속 Hartree-Fock 방법과 같은 것이 MCTDHF에서 작동 할 수 있습니다 .

마지막으로 양자 몬테 카를로 방법을 볼 수 있습니다. DFT 계산을 위해 단일 원자에 대한 교환 및 상관 기능 모델을 얻는 방법입니다. 다 원자 확장이있는 것 같습니다. (링크 권한이 없습니다).

$M$$3M$$N$$N$$N^{3M}$$M$$N=10$$10^9$

이 고려에서 모든 전자의 문제를 동시에 고려하는 것은 불가능합니다. 한 번에 하나 또는 두 개의 전자로 자신을 제한해야합니다. 이것은 자연스럽게 시스템의 나머지 부분을 고정시키면서 전자를 반복하는 Hartree Fock 방법과 같은 방법으로 이어집니다.

나는 그 분야를 충분히 알지 못하지만 그 주제에 대해 많이 인용되고 잘 작성된 리뷰 논문이 있다고 상상해보십시오.