유한 차분 법으로 경계 조건을 부과하는 방법

고차 중심 차이 근사를 사용하려고 할 때 문제가 있습니다.

(\frac{- u_{i + 2, j} + 16 u_{i + 1, j} - 30 u_{i, j} + 16 u_{i - 1, j} - u_{i - 2, j}}{12})

$\left(\frac{-u_{i+2,j}+16u_{i+1,j}-30u_{i,j}+16u_{i-1,j}-u_{i-2,j}}{12}\right)$

푸 아송 방정식

경계 조건이 다음과 같은 정사각형 도메인에서 :

(u_{x x} + u_{y y} = 0)

$(u_{xx}+u_{yy}=0)$

u (0, y) = u (x, 0) = u (x, 1) = 0, u (1, y) = \sin π y

$u(0,y)=u(x,0)=u(x,1)=0,u(1,y)=\sin \pi y$

Δ x = Δ y = 0.1

$\Delta{x}=\Delta{y}=0.1$

도메인의 내부 점의 값을 얻으려면이 근사를 고려하면 일부 점은 경계의 외부 점에 따라 다릅니다. 예를 들어, 은 값을 가져야합니다 $u_{1,1}$ 은 경계 외부에있는 점인. 이 경우 아무도 나를 도울 수 있습니까? $u_{i-2,j}=u_{-1,0}$

pde finite-difference

— 리오 니아
소스

디 리클 경계 조건을 사용하고 있다고 가정합니다. 맞습니까?

— Paul

부과 할 경계 조건을 명시하십시오.

— David Ketcheson

아마도 핵심은 경계 조건을 사용하여 해당 값과 관련된 제약 조건을 얻는 것입니다. PDE를 수치 적으로 해결하려고 시도한 적이 없어서 확장 할 수는 없지만이 아이디어는 ODE에 적용됩니다. 아무도 이것을 확인할 수 있습니까?

— astrojuanlu

고차 방법에서는 이런 식으로 고스트 셀을 채워서 방법의 안정성을 보장하기가 어려울 수 있습니다. 즉, 타원 문제는 일반적으로 내 경험에서 더 용서되므로 문제를 해결할 수 있습니다.

— Jeremy Kozdon

liona, 당신은 당신의 질문을 편집하고 거기에 경계 조건을 추가 할 수 있습니다.

— David Ketcheson

답변:

SBP (finite-by-parts) 유한 차분 법을 살펴볼 수 있습니다. Ken Mattsson은 이러한 방법에 대해 많은 작업을 수행했습니다. 시작하기에 좋은 곳은 여기 (상수 계수)와 여기 (가변 계수)입니다.

기본적으로 이러한 방법이 작동하는 방식은 내부의 표준 중심 방법이며 경계 근처의 한쪽으로 전환하는 것입니다. SBP 기술의 중요한 부분은 단 측으로의 전환이 경계 조건을 포함한 후에도 시간 의존적 문제에 대한 방법의 안정성을 입증 할 수 있다는 것입니다. (이것은 운영자 자체가 규범을 "정의"하기 때문에 가능하며, 이는 부품에 의한 이산 통합을 모방합니다.)

Poisson의 방정식을보고 있다고 말하지만 SBP 연산자와 타원 방정식에 경계 조건이 어떻게 안정적으로 포함되는지는 확실하지 않습니다. 나는 타원 문제로 이것들을 가지고 놀았 던 동료가 있는데 그것이 실제로 당신이하는 일이 중요하지 않다고 지적하는 것 같습니다.

— 제레미 코즈 돈
소스

경계점 근처에서 높은 정확도를 얻기 위해 사용할 수있는 다른 스텐실이 있습니다. 현재 스텐실은 다음과 같은 형식입니다.

$Au_{i+2,j} + Bu_{i+1,j} + Cu_{i,j}+Du_{i-1,j}+Eu_{i-2,j}$

그러나 다음과 같이 경계 근처에 다른 스텐실을 사용할 수도 있습니다.

$Au_{i+3,j} + Bu_{i+2,j}+Cu_{i+1,j}+Du_{i,j} +Eu_{i-1,j}$

$u_{1,1}$

마찬가지로 유사한 수식으로 반대쪽 경계의 값을 근사 할 수 있습니다.

— 바울
소스

u_{1, 1}

$u_{1,1}$

계수는 어떻게 구할 수 있습니까?

— liona 2012

유한 차분 공식을 도출하는 방법을 이해하려면 Leveque의 1 장 faculty.washington.edu/rjl/fdmbook을 참조하십시오 . 그것은 Taylor 시리즈와 약간의 대수학에 해당합니다.

— David Ketcheson

O (h^{2})

$O(h^2)$

O (h^{2})

$O(h^2)$

A U (x + h)

$AU(x+h)$

B U (x)

$BU(x)$

C U (x - h)

$CU(x-h)$

D U (x - 2 h)

$DU(x-2h)$

E U (x - 3 h)

$EU(x-3h)$

U_{x x}

$U_{xx}$

-4

내 이름 david Edwards jr로 researchgate에서 찾을 수있는 내 fdm 용지를 참조하십시오. 궁금한 점이 있으면 기꺼이 도와 드리겠습니다.

데이비드

— 데이비드
소스

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— Doug Lipinski

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— Geoff Oxberry