양의 반 정규 행렬에 대해 어떤 반복 선형 솔버가 수렴합니까?

나는이 문제에 대한 수렴을 보장하는 고전적인 선형 솔버 (예를 들어, 가우스 - 자이 델, 코비, SOR)의 알고 싶은 긍정적 반 명확한 물론 $Ax=b$ $A$ $b \in im(A)$

(공지 는 반 정확한 것이 아니라 정한 것이 아니다) $A$

— 올라 문도
소스

양의 반 정규 행렬을 의미합니까?

— meawoppl

그러한 행렬로 선형 시스템을 푸는 방법은 무엇입니까? 내가 실수하지 않으면, 양의 반 정규 행렬이 단수가 아닌 경우 단순히 양의 정한 것입니다.

— faleichik

응 확신 해. 나는 실제 증거에 관해서는 기억을 새로 고쳐야하지만, 당신이 말한 것에 따라

의 계산에서 분모 가 0이면

가 0임을 의미하며, 이는 모든 "검색 방향"을 의미합니다. A는 특이하지 않으며 잔차는 A의 범위에 있지 않습니다 (따라서 이것은 "최적의"솔루션입니다). 경우에 있다는 사실

이 단지 제 시간 전에 제로에 도달 할 잔류으로 일어나지 않을

α

$\alpha$

A P_{k}

$A P_k$

b \in s p a n (A)

$b \in span(A)$

A P_{k} = 0

$AP_k=0$

— olamundo

설정하십시오 . 그런 다음

입니다. CG는 모든

으로 인해 수렴 합니다. 다시 말해,

가 양의 한정 인

을 떠나지 마십시오 .

x_{0} = b

$x_0=b$

A^{n} b \in I m (A)

$A^nb\in Im(A)$

x_{n}^{*} A x_{n} > 0

$x_n^\ast Ax_n> 0$

0 \neq x_{n} \in I m (A)

$0\ne x_n\in Im(A)$

I m (A)

$Im(A)$

A

$A$

— Deathbreath

@faleichik : 양자 역학에서 감소 된 밀도 매트릭스는 매우 많은 경우에 양의 반정의입니다.

— Deathbreath

답변:

켤레 그라디언트 알고리즘은 반올림 문제에 대해 작동하며 최소 표준 솔루션을 생성합니다.

— 아놀드 노이 마이어
소스

감사.

— SAR

그들은 더 이상 거의 사용되지 않으며, 이것이 어떻게 작동하는지 모르겠습니다.

— Arnold Neumaier

명확히하기 위해 : CG는 반 정규 행렬의 경우 바닐라 형태로 작동하지 않습니다. B가 A의 이미지에 있다면 이론적으로 작동 할 수 있습니다. 그러나 이것은 수치 연습으로 끝나지 않을 것입니다. 매우 유사한 krylov 기반 MINRES가 훨씬 더 나은 선택입니다. 또한, 이러한 "archaic"솔버는 멀티 그리드 유형 솔버에서 널리 사용되며 한 예를들 수 있습니다.

— Eelco Hoogendoorn

$b$ $A$

Jacobi도 마찬가지입니다. 누가 현대 컴퓨터 하드웨어에서 Gauss-Seidel을 귀찮게하고 싶어서 부끄러운 일입니까? 문제가 대각선으로 우세한 블록으로 나눌 수 있다면 운이 좋을 것입니다. Jacobi 업데이트를 Gauss-Seidel 방식으로 증분하여 해당 블록에 적용 할 수 있으며 이러한 유형의 반 정형 문제에 대해 최상의 결과를 얻을 수 있습니다.

— 엘코 후 겐도 른
소스