PDE에 대한 수치 솔루션이 연속 솔루션으로 수렴되는지 확인하는 방법은 무엇입니까?

락스는 정리 등가 선형 초기치 문제의 일관성 및 수치 적 기법의 안정성을 수렴하기위한 필요 충분 조건 중임. 그러나 비선형 문제의 경우 수치 적 방법은 일관되고 안정적 임에도 불구하고 잘못된 결과로 매우 수렴 될 수 있습니다. 예를 들어, 이 논문 은 1D 선형화 된 얕은 물 방정식에 적용된 1 차 Godunov 방법 이 어떻게 잘못된 솔루션으로 수렴되는지 보여줍니다.

메시 및 시간 단계 개선 하에서 자기 수렴은 충분하지 않지만 일반적으로 비선형 PDE에는 정확한 솔루션을 사용할 수 없으므로 수치 방법이 진정한 솔루션으로 수렴되는지 어떻게 알 수 있습니까?

pde stability convergence

— 제드 브라운
소스

소위 제조 방법 솔루션은 모든 문제에 대해 정확한 솔루션을 제공합니다. 설명하는 문제가있는 솔루션을 생성하지 못할 수도 있지만 정확한 솔루션을 사용할 수있는 경우는 아닙니다.

— Bill Barth

솔루션 방법으로는 잘 보이지 않는 불연속 종류의 솔루션을 추측해야하기 때문에 이것이 어렵다고 생각합니다.

— Matt Knepley

Jed가 언급 한 문제가있는 모드를 자극하는 솔루션을 제조하는 것이 어렵다는 데 동의합니다. 정확한 솔루션을 항상 테스트 할 수 있다는 점을 지적하고 싶었습니다. 예를 들어 삼각 함수와 지수 함수 (일반적으로 MoM 정확한 솔루션)를 사용하여 1D 선형 얕은 물 방정식에 대한 솔루션을 제조하고 크랭크를 돌려 해당 소스 용어를 가져 와서 실행하면 어떻게 될지 모르겠습니다. 그것들은 1 차 Godunov 체계를 통해. 제드가 총에 맞고 다시보고 할 수도있을 것입니다.

— Bill Barth

MoM은 훌륭한 도구이지만이 경우 문제는 충격 내부에 확산이 잘못 적용된다는 것입니다. 다른 곳에서는 각 방정식에서 0으로 수렴하는 확산이 허용되지만 충격 내에서 확산은 0으로 수렴되지 않으므로 각 항에 수치 확산을 적용하면 부정확 한 역학이 발생합니다. 아무도 나에게 이길 수 없다면 시간이있을 때이 질문에 긴 대답을 쓸 것입니다.

— Jed Brown

@Jed, 선형화 방정식에 LET을 적용해서는 안됩니까?

— Matt Knepley

답변:

이와 관련하여 논의 할 두 가지 주요 솔루션 클래스가 있습니다.

"충분히"부드러운 솔루션

에서는 스트 랭의 전통적인 종이 는 느슨한가 정리 (즉, 일관성 플러스 안정성 융합을 의미한다는 아이디어) 비선형 PDE 솔루션을 확장하고는 등가 것을 나타낸다 들이 연속 유도체 특정 수있는 경우 . 논문은 쌍곡선 문제에 초점을 맞추고 있지만 그 결과는 포물선 문제로 이어집니다. 필요한 파생 상품의 수는 기술적 요점이지만,이 접근 방식은 일반적으로 PDE를 강력하게 만족시키는 솔루션에 적용 할 수 있습니다.

불연속 솔루션

다른 극단에서, 우리는 불연속성을 갖는 PDE "솔루션"을 가지고 있는데, 이는 일반적으로 비선형 쌍곡선 보존법 에서 비롯됩니다 . 물론 이러한 상황에서 솔루션은 PDE가 하나 이상의 지점에서 구분할 수 없기 때문에 강력한 의미로 PDE를 만족한다고 말할 수 없습니다. 대신, 약한 해결책에 대한 개념 이 도입되어야하며, 이는 본질적으로 그 해결책이 완전한 보존법을 충족시켜야한다는 것을 의미합니다.

안정성이 충분하지 않기 때문에 일련의 솔루션의 수렴을 증명하는 경우에 더 어렵다 . 일반적으로 시퀀스는 함수 집합과 같이 좁은 최대 공간을 갖는 좁은 공간에 있어야합니다 . $L_p$ $L_\infty$

시퀀스가 어떤 것으로 수렴하는 것으로 보일 수 있고, 방법이 보수적이라면, Lax-Wendroff 정리는 그것이 보존법의 약한 해결책으로 수렴 할 것을 보장합니다. 그러나 이러한 솔루션은 고유하지 않습니다 . 어떤 약한 솔루션이 "올바른"지 결정하려면 쌍곡선 PDE에 포함되지 않은 정보가 필요합니다. 일반적으로, 쌍곡선하는 PDE가 연속 모델에서 포물선 조건을 무시함으로써 얻어진다, 그리고 올바른 약한 솔루션은 포물선 용어가 삭제 된 정확하게에 따라 달라질 수 있습니다 (이 마지막 점의 초점입니다 위의 질문에 링크 된 종이 ).

이것은 풍부하고 관련된 주제이며, 수학적 이론은 완전하지 않습니다. 대부분의 수렴 증명은 1D 문제에 대한 것이며 특수 기술에 의존합니다. 따라서 실제로 쌍곡선 보존법의 거의 모든 실제 계산 솔루션은 기존 도구와 수렴 되는 것으로 입증 될 수 없습니다 . 컴퓨터 관점에서 실제 논의를하려면 LeVeque의 저서 (8, 12, 15 장)를 참조하십시오 . 보다 엄격하고 자세한 치료를 위해 Dafermos를 제안 합니다 .

— 데이비드 케 치슨
소스

수치 적 방법이 쌍곡선 방정식에 문제가있을 때마다 (그리고 잘못된 솔루션으로 수렴 될 때마다) 보통 충격에 의한 것이 아니라는 점을 지적하는 것 외에는 여기에 기여할 것이 거의 없습니다. 오히려, 그들이 어려움을 겪는 부분은 솔루션이 매끄럽고 드문 파동입니다.

어려운 것으로 보이는 또 다른 예는 와 같은 간단한 방정식에 대한 것입니다 . 곳에서 문제가 발생 합니다. 이것을 방정식의 "소닉 포인트"라고합니다. (방정식은 로 다시 쓸 수 있으며 , 이 왜 문제 인지 설명합니다 .) 여기서 일어나는 일은 방정식이 퇴화된다는 것입니다. 일 때 ODE 일 뿐이지 만 솔루션은 그렇지 않은 주변 지역의 영향을받습니다. 따라서 초기에 도메인 전체에서 이 발생하면

u_{t} + β \cdot \nabla F (u) = g

$u_t + \beta \cdot \nabla F(u) = g$

F^{'} (u) = 0

$F'(u)=0$

u_{t} + β F^{'} (u) \cdot \nabla u = g

$u_t + \beta F'(u) \cdot \nabla u = g$

F^{'} = 0

$F'=0$

F^{'} = 0

$F'=0$

F^{'} = 0

$F'=0$

ω \subset Ω

$\omega\subset\Omega$

| ω | > 0

$|\omega|>0$

$F(u)$

F (u) = \frac{u^{4}}{u^{4} + (1 - u)^{2} \cdot (1 - u^{2})}

$F(u) = \frac{u^4}{u^4 + (1-u)^2 \cdot (1-u^2)}$

u

$u$

F^{'} (u) = 0

$F'(u)=0$

u = 0

$u=0$

— 볼프강 뱅 거스
소스

엄격한 의미에서 질문에 직교하지만 이것은 훌륭한 포인트입니다. 당신은에 수렴의 문제를 해결하는 올바른 참으로 수렴의 문제보다 실제로는 더 문제가 약한 솔루션, 일부 약한 솔루션을.

— David Ketcheson