선형 PDE에 대한이 간단한 오차 추정치는 어떻습니까?

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하자 될 볼록 polygonally 경계 립 시즈 도메인 하자 . $\Omega$ $\mathbb R^2$ $f \in L^2(\Omega)$

이어서 디리클레 문제의 해결책 에서 , 에 독특한 용액 갖는 어떤 정수에 대해, 즉 잘 야기되는 우리가 . $\Delta u = f$ $\Omega$ $\operatorname{trace} u = 0$ $\partial\Omega$ $H^2$ $C$ $\|u\|_{H^2} \leq C \|f\|_{L^2}$

유한 요소 근사 $u_h$ , 예를 들어 균일 그리드에 절점 요소가 있으면 오차 추정치가 있습니다.

$\| u - u_h \|_{H^1} \leq C h \| u \|_{H^2}$

사람들은 일반적으로 명백한 오류 추정치를 사용하지 않는 것 같습니다 (아마도 내가 틀렸을 수도 있음)

$\| u - u_h \|_{H^1} \leq C h \| f \|_{L^2}$

위의 두 불평등을 조합하여 얻을 수 있습니다. 대신, 후미 오차 추정기는 다양한 형태로 개발된다. 위의 방정식에 대해 내가 상상할 수있는 유일한 반대 는 실제로 상수 $C$ 가 너무 비관적이거나 안정적으로 추정 할 수 없다는 것입니다.

pde finite-element error-estimation

— 슈할로
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사람들이 제 생각에 첫 번째 추정치를 사용하는 것을 선호하는 이유는 첫 번째 추정치가 FEM의 Galerkin 직교성, 보간 근사 속성 및 가장 중요한 이중선 형태의 보자력 (Poisson 방정식의 경계 값 문제)에서 자연적으로 발생하기 때문입니다 , 이는 함수 의 Poincaré / Friedrichs 불평등과 동일 합니다.) $H^1_0$

\begin{aligned} ‖ u - u_{h} ‖_{H^{1} (Ω)}^{2} & \leq c_{1} ‖ \nabla (u - u_{h}) ‖_{L^{2} (Ω)}^{2} \\ ‖ \nabla (u - u_{h}) ‖_{L^{2} (Ω)}^{2} & = \int_{Ω} \nabla (u - u_{h}) \cdot \nabla (u - u_{h}) \\ = \int_{Ω} \nabla (u - u_{h}) \cdot \nabla (u - I u) \\ \leq ‖ \nabla (u - u_{h}) ‖_{L^{2} (Ω)} ‖ \nabla (u - I u) ‖_{L^{2} (Ω)} \\ \Rightarrow ‖ \nabla (u - u_{h}) ‖_{L^{2} (Ω)} & \leq ‖ \nabla (u - I u) ‖_{L^{2} (Ω)} \leq c_{2} h ‖ u ‖_{H^{2} (Ω)} \end{aligned}

$\begin{aligned} \|u - u_h\|^2_{H^1(\Omega)} &\leq c_1 \| \nabla (u - u_h) \|^2_{L^2(\Omega)} \\ \| \nabla (u - u_h) \|^2_{L^2(\Omega)} &= \int_{\Omega} \nabla(u- u_h)\cdot \nabla(u- u_h) \\ &= \int_{\Omega} \nabla(u- u_h)\cdot \nabla(u- \mathcal{I}u) \\ &\leq \| \nabla (u - u_h) \|_{L^2(\Omega)} \| \nabla (u - \mathcal{I}u) \|_{L^2(\Omega)} \\ \Rightarrow \| \nabla (u - u_h) \|_{L^2(\Omega)} &\leq \| \nabla (u - \mathcal{I}u) \|_{L^2(\Omega)} \leq c_2 h\| u\|_{H^2(\Omega)} \end{aligned}$ 여기서 은 함수 에 대한 Poincaré / Friedrichs 부등식의 상수에 의존하고 는 유한에서 의 보간입니다. 요소 공간 및

c_{1}

$c_1$

H_{0}^{1}

$H^1_0$

I u

$\mathcal{I}u$

u

$u$

c_{2}

$c_2$ 메시의 최소 각도에 따라 다릅니다.

타원 규칙 성 추정 는 PDE 수준에만 관련이 있지만 이 분포 인 경우에도 근사와 더하기 위의 인수가 유지됩니다 . $\|u \|_{H^2(\Omega)}\leq c\|f\|_{L^2(\Omega)}$ $f\in H^{-1}$

이제 사후 오류 추정이 널리 사용되는 이유는 다음과 같습니다.

계산 가능하며 추정값의 표현에는 일반적인 상수가 없습니다.
추정기는 로컬 형태를 가지는데, 이는 적응 형 메쉬 정제 절차에서 사용하는 로컬 에러 표시 기일 수 있습니다. 따라서 특이점이나 실제로 "나쁜"형상의 문제를 처리 할 수 있습니다.

나열된 선험적 유형 추정치 모두 유효하며 수렴 순서에 대한 정보를 제공하지만 상수로 인해 계산할 수 없기 때문에 하나의 삼각형 / 4 면체에 대한 로컬 오류 표시기가 될 수는 없습니다. 로컬로 정의되지도 않습니다.

편집 : 타원 PDE에 대한 FEM에 대한 일반적인 관점을 보려면 Brenner와 Scott의 저서 0 : 유한 요소 방법의 수학 이론을 읽으십시오. 이 페이지는 20 페이지로 구성되며 유한 요소 방법의 거의 모든 측면을 간략하게 설명합니다. , PDE의 Galerkin 공식에서 우리가 적응 FEM을 사용하여 일부 문제를 해결하려는 동기에 이르기까지. 이것이 더 도움이되기를 바랍니다.

— 슈 하오 카오
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두 가지 측면에서 추정치가 너무 비관적입니다. 첫 번째 것을 이미 확인했습니다 ( 이제 는 보간 상수뿐만 아니라 안정성 상수도 포함합니다). 두 번째는 오차 추정치가 실제로 오른쪽 에는 표준이 아닌 준 표준이 있습니다. 물론 당신은 전체 규범에 의해 rhs를 묶을 수 있지만, 당신은 이런 식으로 다시 잃습니다. $C$

‖ \nabla e ‖_{L_{2}} \leq C h | u |_{H^{2}} .

$\|\nabla e\|_{L_2} \le C \;h\; |u|_{H^2}.$

H^{2}

$H^2$

— 볼프강 뱅 거스
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