대칭 일반 고유 값 문제에 대한 실베스터 관성 법의 일반화가 있습니까?

대칭 고유 값 문제를 해결하기 위해 $Ax = \lambda x$실베스터 관성 법, 즉 고유 값의 수를 사용할 수 있습니다. $A$ 이하 $a$ 마이너스 항목 수와 동일 $D$ 대각선 행렬 $D$ LDL 인수 분해에서 비롯됩니다 $A-aI = LDL^{T}$. 그런 다음 이분법에 의해 원하는 고유 값을 모두 또는 일부 찾을 수 있습니다. 대칭 일반 고유 값 문제에 대한 실베스터 관성 법의 일반화가 있는지 알고 싶습니다.$Ax= \lambda Bx$, 어디 $A$ 과 $B$대칭 행렬입니다. 감사.

예, 연필이 명확한 경우, 즉 $A$ 과 $B$ 은둔자 $B$긍정적 인 결정입니다. 그런 다음 서명$A-\sigma B$ 고유 값 문제에 대해 동일한 해석을합니다. $(A-\lambda B)x=0$ 경우와 같이 $B=I$. 이러한 종류의보다 일반적인 결과는 명확한 비선형 고유 값 문제를 나타냅니다.$A(\lambda)x=0$. 내 책의 섹션 5.3 참조

Arnold Neumaier, 수치 해석 소개, Cambridge Univ. Press, Cambridge 2001.

에 대한 $(A-\lambda B)x=0$, 내 주장의 증거는 Jack Poulson이 주장한 주장에서 추론 할 수 있습니다. $C-\sigma I$ 과 $A-\sigma B$ 합동이므로 동일한 관성이 있습니다.

특히, 관성을 직접 계산할 수 있습니다. $A-\sigma B$, Cholesky 인수 분해가 필요하지 않습니다. $B$ 형성 $C$. 실제로$B$ 조건이 맞지 않다면 $C$ 관성 테스트의 품질을 저하시킵니다.

경우에 $B$ 은둔자이고 양의 한정된 $B$말하다 $B = L L^H$, 그것을 준다

이 방정식은 다음을 보여주기 위해 조작 될 수 있습니다.

분명해야 할 곳 $C \equiv L^{-1} A L^{-H}$ 대칭을 유지 $A$연필과 동일한 스펙트럼을 가지고 있습니다. $(A,B)$. 따라서 성형 후$C$, Cholesky 인수 분해와 양측 삼각 해법 을 사용하면 실베스터 관성 법을 직접 적용 할 수 있습니다$C$ 연필의 고유 값에 대한 정보를 수집 $(A,B)$.

실베스터의 관성 법칙은 예를 들어 합동 변환 과 관련하여 변하지 않기 때문에$S \cdot S^H$그런 다음 행렬 $C$ 합동하다 $A$ 변형을 통해 $L^{-1} \cdot L^{-H}$, 그래서 $C$ 같은 관성이 있습니다 $A$. 그러나 관성이$C-\sigma I$ 0이 아닌 일부 이동의 경우 $\sigma$그러면 더 이상 단순히 고려할 수 없습니다 $A$.