연속성 방정식에 대한 유한 유한 차이

다음 방정식에서 유한 차분 이산 법은 무엇입니까?

$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \left(\rho u\right)=0$ ?

우리는 1D 사례를 취할 수 있습니다.

$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{d}{dx}\left(\rho u\right)=0$

어떤 이유로 든 내가 찾을 수있는 모든 계획은 Lagrangian 좌표의 공식입니다. 나는이 구성표를 당분간 생각해 냈습니다 ( j 색인 무시 ).

$\frac{\rho^{n+1}_{i,j}-\rho^{n}_{i,j}}{\tau} + \frac{1}{h_x}\left(\frac{\rho^{n+1}_{i+1,j}+\rho^{n+1}_{i,j}}{2}u^{n}_{_xi+1/2,j}- \frac{\rho^{n+1}_{i,j}+\rho^{n+1}_{i-1,j}}{2}u^{n}_{_xi-1/2}\right)=0$

그러나 실제로 불안정하거나 끔찍한 안정성 조건이있는 것 같습니다. 그렇습니까?

속도는 실제로 darcy law 통해 계산됩니다 . 또한 상태 방정식이 있습니다. 전체 시스템은 또한 에너지 방정식과 이상적인 가스의 상태 방정식으로 구성됩니다. 속도는 음수로 변할 수 있습니다 .$u=-\frac{k}{\mu}\nabla p$

질량 보존 방정식을보고 있습니다.

$\dfrac{dm}{dt}=0$

단위 부피당 질량 진화를 고려할 때 이것은 플럭스 형태의 밀도 대류 방정식으로 요약됩니다.

$\dfrac{\partial \rho}{\partial t} = -\nabla \cdot (\rho u)$

이것에 대한 좋은 점은 임의의 스칼라 필드 (이 경우 밀도 일 것입니다)의 이류 방정식 일뿐 이며 적절한 시간과 공간 차이 체계를 제공하고 (초기) 해결하기 쉽고 상대적으로 쉽다는 것입니다. 경계 조건.$\rho$

유한 차분 방식을 설계 할 때 수렴, 안정성 및 정확성에 대해 걱정합니다. 때 경우 체계가 수렴됩니다 . 구성표의 안정성은 때 수량 가 유한하게 유지 되도록합니다 . 체계의 공식 정확도는 부분 미분의 Taylor 확장 시리즈에서 잘림 오류가 어디에 있는지 알려줍니다. 차등 구성표의 이러한 기본 속성에 대한 자세한 내용은 CFD 교과서를 참조하십시오. Δt→0At→$\dfrac{\Delta A}{\Delta t} \rightarrow \dfrac{\partial A}{\partial t}$$\Delta t \rightarrow 0$$A$$t \rightarrow \infty$

이제 가장 간단한 방법은 1 차 업스트림 차이로 바로 이동하는 것입니다. 이 체계는 양의 명확하고 보수적이며 계산적으로 효율적입니다. 처음 두 특성은 항상 양 (즉, 질량 또는 밀도)의 양의 진화를 모델링 할 때 특히 중요합니다.

간단하게하기 위해 1 차원 사례를 살펴 보겠습니다.

$\dfrac{\partial \rho}{\partial t} = -\dfrac{\partial(\rho u)}{\partial x}$

플럭스 를 정의하는 것이 편리 합니다.$\Phi = \rho u$

$\dfrac{\partial(\rho u)}{\partial x} = \dfrac{\partial \Phi}{\partial x} \approx \dfrac{\Delta \Phi}{\Delta x} \approx \dfrac{\Phi_{i+1/2}-\Phi_{i-1/2}}{\Delta x}$

다음은 우리가 시뮬레이션하는 것에 대한 개략도입니다.

            u           u
|          -->         -->          |
|    rho    |    rho    |    rho    |
x-----o-----x-----o-----x-----o-----x
     i-1  i-1/2   i   i+1/2  i+1

셀 에서 의 진화를 평가하고 있습니다. 순손익은 와 합니다. 여기서 우리는 바울의 대답에서 벗어나기 시작합니다. 진정한 보수적 인 상류 차분에서, 세포 중심에서의 양은 운동 방향으로, 세포 가장자리에서의 속도에 의해 운반된다. 다시 말해, 당신이 예상되는 양이라고 생각하고 당신이 세포 중심에 앉아 있다면, 당신은 세포 가장자리의 속도에 의해 당신 앞에있는 세포 안으로 들어갑니다. 셀 에지에서의 밀도 및 속도의 곱으로서 셀 에지에서의 플럭스를 평가하는 것은 정확하지 않으며, 진행된 양을 보존하지 못한다.I Φ I - 1 / 2 Φ I + 1 /$\rho$$i$$\Phi_{i-1/2}$$\Phi_{i+1/2}$

들어오고 나가는 플럭스는 다음과 같이 평가됩니다.

$\Phi_{i+1/2} = \dfrac{u_{i+1/2}+|u_{i+1/2}|}{2}\rho_{i} + \dfrac{u_{i+1/2}-|u_{i+1/2}|}{2}\rho_{i+1}$

$\Phi_{i-1/2} = \dfrac{u_{i-1/2}+|u_{i-1/2}|}{2}\rho_{i-1} + \dfrac{u_{i-1/2}-|u_{i-1/2}|}{2}\rho_{i}$

플럭스 디 퍼런 싱의 상기 처리는 상류-확정 성을 보장한다. 즉, 속도의 부호에 따라 차이 방향을 조정합니다.

Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) 안정성 기준은 간단한 1 차로 시차를 수행 할 때 다음과 같이 전달됩니다.

$\mu = \dfrac{u\Delta t}{\Delta x} \leq 1$

2 차원에서 CFL 안정성 기준은보다 엄격합니다.

$\mu = \dfrac{c\Delta t}{\Delta x} \leq \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

여기서 는 속도 크기, 입니다.$c$$\sqrt{u^{2}+v^{2}}$

고려해야 할 사항 이 체계는 시뮬레이션하는 프로세스 종류에 따라 응용 프로그램에 적합하거나 적합하지 않을 수 있습니다. 이 구성표는 확산 성이 높으며 그라디언트가없는 매우 부드러운 흐름에 적합합니다. 또한 짧은 시간 간격으로 더 확산됩니다. 1-D 경우 기울기가 매우 작고 경우 거의 정확한 솔루션을 얻을 수 있습니다. 2 차원의 경우, 이것은 불가능하며 확산은 이방성이다.$\mu = 1$

물리적 시스템이 충격파 또는 다른 종류의 높은 경사도를 고려하는 경우 높은 차수 (예 : 3 차 또는 5 차)의 상류 차이를 조사해야합니다. 또한 Flux Corrected Transport 스킴 체계를 살펴 보는 것이 좋습니다 (Zalesak, 1979, JCP). Smolarkiewicz (1984, JCP)에 의한 상기 스킴에 대한 확산 방지 보정; Smolarkiewicz (1998, JCP)의 MPDATA 체계 체계.

시차의 경우, 1 차 순방향 오일러 차분이 귀하의 요구에 만족할 수 있습니다. 그렇지 않으면 Runge-Kutta (반복) 또는 Adams-Bashforth 및 Adams-Moulton (다단계)과 같은 고차 방법을 살펴보십시오.

위에서 언급 한 계획과 그 밖의 여러 가지에 대한 요약을 보려면 CFD 대학원 수준의 교과서를 살펴 보는 것이 좋습니다.

$(\frac{d}{dx})$

$\frac{\rho_i^{k+1}-\rho_i^k}{\Delta t} + \frac{\rho_i^k U_i^k-\rho_{i-1}^k U_{i-1}^k}{\Delta x} = 0$

$\Delta x$$\Delta t$