수렴이 약한 느낌은 어떻습니까?

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무한 차원 Hilbert 또는 Banach 공간 (PDE 또는 그러한 공간의 최적화 문제를 생각하십시오)에 문제가 있고 솔루션에 약하게 수렴하는 알고리즘이 있습니다. 문제를 불연속 화하고 해당 불연속 알고리즘을 문제에 적용하면 모든 수렴에서 약한 수렴이 수렴되므로 강합니다. 내 질문은 :

이러한 종류의 강한 수렴은 원래 무한 알고리즘의 좋은 오래된 일반 강한 수렴에서 얻은 수렴과 느낌이 다르거 나 다르게 보입니까?

또는 더 구체적으로 :

"비 분산 된 약한 수렴 방법"으로 어떤 종류의 나쁜 동작이 발생할 수 있습니까?

나는 약한 수렴만을 증명할 수있을 때 일반적으로 만족스럽지 않지만 지금까지 문제의 이산 문제를 더 큰 차원으로 확장하더라도 방법의 결과에 대한 문제를 관찰 할 수 없었습니다.

"최적화보다 첫 번째 이산화"대 "이산화보다 첫 번째 최적화"문제에 관심이 없으며 문제와 모든 속성을 공유하지 않는 불연속 화 문제에 알고리즘을 적용하면 발생할 수있는 문제를 알고 있습니다. 알고리즘을 위해 설계된

업데이트 : 구체적인 예로서 의 변수에 대한 최적화 문제를 고려하고 (관 성적) 전진 후 분할 또는 약한 수렴 만 알려진 다른 방법 으로 해결하십시오. 이산화 문제의 경우 동일한 방법을 사용할 수 있으며 올바른 이산화로 알고리즘을 직접 이산화하면 동일한 알고리즘을 얻게됩니다. 이산화 정확도를 높이면 무엇이 잘못 될 수 있습니까? $L^2$ $L^2$

algorithms convergence

— 단도
소스

무한 차원 문제가 분리되기 전에 수렴이 분석되는 위치에 대해 어떤 방법을 생각하고 있습니까? 최적화에 대해 언급 했으므로 PDE 제한 최적화 문제에 대해 생각하고 있습니까, 아니면 다른 것이 있습니까?

— Bill Barth 2016 년

PDE 최적화 외에도 기하학적 변형 문제 (예 : 최소 표면) 및 이미징 문제 (예 : TV 잡음 제거, Mumford-Shah 분할)가 있습니다.

— Dirk

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연속체 한계에서 약한 수렴이 가장 중요하다는 것은 사실입니다. $h\to 0$ (예를 들어, 관찰 할 수 없다는 의해 임의 수렴 속도). 적어도 힐버트 공간에서, 그것은 또한 한계의 비고 유성과 밀접한 관련이 있으며, 따라서 연속적인 수렴 (예를 들어, 다른 한계점에 접근하는 것 사이에서 번갈아 가며 다시 속도를 파괴하는 것) 만 영향을 미치기 때문에 수렴에 대한 두.

특히 약한 수렴 $L^2$ 또한 수렴이 포인트 단위 일 필요는 없다는 사실을 알고 있으며, 실제로 (충분히 미세한) 이산화로 관찰 할 수 있습니다. 다음은 일련의 최소화 기의 예입니다. $\{u_\varepsilon\}_{\varepsilon>0}$ 그로 수렴 $\varepsilon\to 0$ 에

유 (엑스) = {\begin{cases} - 1 & 엑스 < \frac{1}{삼} \\ 0 & 엑스 \in [\frac{1}{삼}, \frac{2}{삼}] \\ 1 & 엑스 > \frac{2}{삼} \end{cases}

$u(x) = \begin{cases} -1 & x<\frac13 \\ 0 &x\in [\frac13,\frac23] \\ 1 &x>\frac23\end{cases}$ 수렴이 약하지만 뾰족하지 않은 곳

[\frac{1}{3}, \frac{2}{3}]

$[\frac13,\frac23]$ (그러나 거의 다른 곳에서 포인트로). 다음 그림은 시퀀스에서 세 가지 대표적인 요소를 보여줍니다 (

ε

$\varepsilon$ 이미 꽤 작음).

약한 수렴 1 약한 수렴 2 약한 수렴 3

이 현상은 미분 방정식에 대한 뱅뱅 제어 문제의 근사에서 "치 터링"으로 알려져 있습니다 (즉, 솔루션이 거의 모든 곳에서 하한 또는 상한에 도달하는 상자 제약 조건의 문제).

— 크리스찬 클라 슨
소스

훌륭한 예입니다! 그러나 나는 수렴이 약한 것이 비고 유성과 관련이 있다는 점을 얻지 못했습니다. 일반적으로 한계가 고유 할 때 약한 수렴을 강한 수렴으로 업그레이드 할 수 없습니다. 그러나 종종 하나는 약한 수렴과 비독 특성을 모두 가지고 있습니다.

— Dirk

죄송합니다. 나는 이것이 항상 사실임을 의미하지는 않았다. 나는 일반적으로 규범의 수렴을 얻는 문제를 염두에 두었습니다. 전체 시퀀스의 수렴이있는 한 강한 수렴으로 "업그레이드"할 수 있습니다 (즉, 강한 수렴을 막을 수있는 유일한 것은 후속 수렴입니다) ).

— Christian Clason 2016 년

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한 규범의 약한 수렴은 동일한 일련의 솔루션에 대해 다른 규범의 강한 수렴을 암시 할 수 있기 때문에 당신이 묻는 질문은 종종 실질적인 관심사가 아닙니다.

예를 들어, 표준 유한 요소가있는 볼록 다각형 영역에서 충분히 부드러운 오른쪽으로 라플라스 방정식을 풀 었다고 가정 해 봅시다. 그런 다음 해결책 $u$ ~에있다 $H^2$ 물론 유한 요소 솔루션 $u_h$ ~에만 $H^1$ . 우리는 그것을 알고 $u_h \rightarrow u$ 둘 다에 강력하게 $L_2$ 과 $H^1$ 최대 메쉬 크기로서의 규범 $h\rightarrow 0$ 우리는 선험적 인 오차 추정치가 있기 때문에 $\|u-u_h\|_{L_2} \le Ch^2$ 과 $\|u-u_h\|_{H^1} \le Ch$ .

그러나 분명히 우리는 기대할 수 없다 $u_h \rightarrow u$ 강하게 $H^2$ 왜냐하면 $u_h$ ~에만있다 $H^1$ . 그러나 우리는 $u_h \rightharpoonup u$ 약하게 $H^2$ (사실, 나는 그것이 있다고 생각합니다). 이것은 아마도 다음과 같은 진술을 암시 할 것입니다

⟨ \nabla^{2} (유 - 유_{h}), \nabla^{2} V ⟩ \leq 영형 (1) \forall V \in H^{2} .

$\left< \nabla^2 (u-u_h), \nabla^2 v\right> \le {\cal o}(1) \qquad \forall v \in H^2.$

요점은 약한 수렴과 강한 수렴에 대한 문제는 일반적으로 사용자가 보는 표준의 문제이며 방법에서 얻는 일련의 솔루션의 속성이 아니라는 것입니다.

— 볼프강 뱅 거스
소스

이것은 사실이지만 어느 시점에서 규범이 너무 약해 실용적으로 유용하지 못합니다 (예를 들어, 수렴이 약한 경우

L^{2}

$L^2$ , 이는 음의 Sobolev 규범에서 강력한 수렴을 의미하며 현지화 할 수 없습니다).

— Christian Clason

@ChristianClason, 그러한 방법이 이산화되었을 때의 모습에 대해 이야기 할 수 있습니까? 그들이 일하니? 기타?

— Bill Barth

내가 생각한 경우는 불연속 규범이 실제로 약한 수렴 만 발생하는 규범에 거의 근접했을 때입니다 (보통

L^{2}

$L^2$ ).

— Dirk