] 0,1 [의 열 방정식에 대한 주기적 경계 조건

첫 번째 차원에서 부드러운 초기 조건과 열 방정식을 고려해 봅시다 : 열린 간격 , 유한 한 차이로 수치 적으로 풀고 싶다고 가정 해 봅시다.

\partial_{티} 유 = \partial_{엑스 엑스} 유

$\partial_t u = \partial_{xx} u$

] 0, 1 [

$]0,1[$

내 문제가 잘 드러나기 위해서는 과 경계 조건을 부여해야한다는 것을 알고 있습니다 . Dirichlet 또는 Neumann이 잘 작동한다는 것을 알고 있습니다. $x=0$ $x=1$

첫 번째 경우 에 대해 내부 포인트 이 있으면 미지수를 갖습니다 . for 가 경계에 규정되어 있기 때문에 $N$ $x_k=\frac{k}{N+1}$ $k=1,\cdots,N$ $N$ $u_k=u(x_k)$ $k=1,\cdots,N$ $u$

두 번째 경우에는 실제로 미지수 있으며 (균질 한) Neumann BC를 사용하여 국경에서 하는 방법을 알고 있습니다. 허점 및 와 평등 : $N+2$ $u_0,\cdots,u_{N+1}$ $x_{-1}$ $x_{N+2}$

\frac{유_{1} - 유_{- 1}}{2 h} = 0 = \frac{유_{엔 + 2} - 유_{엔}}{2 h}

$\frac{u_1-u_{-1}}{2 h} = 0 = \frac{u_{N+2}-u_N}{2 h}$

내 질문은 BC 주에 관한 것입니다. 나는 하나의 방정식, 즉 있지만 아마도 2를 사용할 수 있다고 생각합니다. 그리고

유 (0) = 유 (1)

$u(0) = u(1)$

\partial_{엑스} 유 (0) = \partial_{엑스} 유 (1)

$\partial_x u(0) = \partial_x u(1)$

그러나 나는 확실하지 않다. 나는 얼마나 많은 미지수를 가져야하는지 모른다. 그것은이다 ? $N+1$

pde boundary-conditions parabolic-pde

— 벨라 83
소스

Dirichlet 또는 Neumann 경계 조건이 있습니까? 고스트 셀의 수는 Neumann 경계 조건에 대한 근사 순서에 따라 다릅니다.

— ilciavo

@ilciavo에서, 질문은주기적인 경계 조건에 관한 것입니다.

— Bill Barth

답변:

이를 수행하는 가장 좋은 방법은주기 경계 조건의 정의를 사용하고 처음부터 라는 사실을 사용하여 방정식을 올바르게 설정하는 것 입니다. 사실, 더 강하게, 주기적인 경계 조건을 식별 와 . 이러한 이유로 솔루션 도메인에는 이러한 지점 중 하나만 있어야합니다. 경계 가 없기 때문에 주기적 경계 조건을 사용할 때는 열린 간격이 의미 가 없습니다 . $u(0)=u(1)$ $x=0$ $x=1$

당신이에 점 놓지해야한다는이 사실은 수단 이 동일하므로 . 와 이산화 점, 당신은 그 사실을 사용하는 정의에 의해, 왼쪽에있는 점 IS 과의 오른쪽에있는 점 있다 . $x=1$ $x=0$ $N+1$ $x_0$ $x_N$ $x_N$ $x_0$

주기적 그리드의 개략도

그런 다음 PDE를 공간에서 로 분리 할 수 있습니다

\frac{\partial}{\partial 티} [\begin{matrix} {엑스}_{0} \\ {엑스}_{1} \\ ⋮ \\ {엑스}_{엔} \end{matrix}] = \frac{1}{Δ {엑스}^{2}} [\begin{matrix} {엑스}_{엔} - 2 {엑스}_{0} + {엑스}_{1} \\ {엑스}_{0} - 2 {엑스}_{1} + {엑스}_{2} \\ ⋮ \\ {엑스}_{엔 - 1} - 2 {엑스}_{엔} + {엑스}_{0} \end{matrix}]

$\frac{\partial}{\partial t} \left[\begin{array}{c} x_0 \\ x_1 \\ \vdots \\ x_N \end{array}\right] = \frac{1}{\Delta x^2} \left[\begin{array}{c} x_N - 2x_0 + x_1 \\ x_0 - 2x_1 + x_2 \\ \vdots \\ x_{N-1} - 2x_N + x_0 \end{array}\right]$

이것은 행렬 형태로 로 쓸 수 있습니다 여기서

\frac{\partial}{\partial 티} \vec{엑스} = \frac{1}{Δ {엑스}^{2}} ㅏ \vec{엑스}

$\frac{\partial}{\partial t}\vec{x} = \frac{1}{\Delta x^2} \mathbf{A} \vec{x}$

ㅏ = [\begin{matrix} - 2 & 1 & 0 & \dots & 0 & 1 \\ 1 & - 2 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ ⋱ & ⋱ & ⋱ \\ ⋱ & ⋱ & ⋱ \\ 0 & \dots & 0 & 1 & - 2 & 1 \\ 1 & 0 & \dots & 0 & 1 & - 2 \end{matrix}] .

$\mathbf{A} = \left[\begin{array}{c} -2 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ & \ddots & \ddots & \ddots \\ && \ddots & \ddots & \ddots \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & 1 & -2 \end{array}\right].$

물론이 행렬을 실제로 만들거나 저장할 필요가 없습니다. 유한 한 차이는 즉시 필요에 따라 첫 번째와 마지막 점을 처리하도록주의하여 계산해야합니다.

\partial_{티} 유 = \partial_{엑스 엑스} 유 + 비 (티, 엑스)

$\partial_t u = \partial_{xx}u + b(t,x)$

x \in [- 1, 1)

$x\in[-1,1)$

u_{Ref} (t, x) = \exp (- t) \cos (5 π x)

$u_\text{Ref}(t,x) = \exp(-t)\cos(5\pi x)$

b (t, x) = (25 π^{2} - 1) \exp (- t) \cos (5 π x)

$b(t,x) = (25\pi^2-1)\exp(-t)\cos(5\pi x)$

clear

% Solve: u_t = u_xx + b
% with periodic boundary conditions

% analytical solution:
uRef = @(t,x) exp(-t)*cos(5*pi*x);
b = @(t,x) (25*pi^2-1)*exp(-t)*cos(5*pi*x);

% grid
N = 30;
x(:,1) = linspace(-1,1,N+1);

% leave off 1 point so initial condition is periodic
% (doesn't have a duplicate point)
x(end) = [];
uWithMatrix = uRef(0,x);
uNoMatrix = uRef(0,x);

dx = diff(x(1:2));
dt = dx.^2/2;

%Iteration matrix:
e = ones(N,1);
A = spdiags([e -2*e e], -1:1, N, N);
A(N,1) = 1;
A(1,N) = 1;
A = A/dx^2;

%indices (left, center, right) for second order centered difference
iLeft = [numel(x), 1:numel(x)-1]';
iCenter = (1:numel(x))';
iRight = [2:numel(x), 1]';

%plot
figure(1)
clf
hold on
h0=plot(x,uRef(0,x),'k--','linewidth',2);
h1=plot(x,uWithMatrix);
h2=plot(x,uNoMatrix,'o');
ylim([-1.2, 1.2])
legend('Analytical solution','Matrix solution','Matrix-free solution')
ht = title(sprintf('Time t = %0.2f',0));
xlabel('x')
ylabel('u')
drawnow

for t = 0:dt:1
    uWithMatrix = uWithMatrix + dt*( A*uWithMatrix + b(t,x) );
    uNoMatrix = uNoMatrix + dt*(  ( uNoMatrix(iLeft) ...
                                - 2*uNoMatrix(iCenter) ...
                                  + uNoMatrix(iRight) )/dx^2 ...
                                + b(t,x) );
    set(h0,'ydata',uRef(t,x))
    set(h1,'ydata',uWithMatrix)
    set(h2,'ydata',uNoMatrix)
    set(ht,'String',sprintf('Time t = %0.2f',t))
    drawnow
end

초기 조건의 플롯

t = 0.5에서의 솔루션 플롯

t = 1.0에서 솔루션 도표

t = 2.0에서 솔루션 도표

— 더그 리핀 스키
소스

위대하고 간단한 해결책 !! 누군가가 여기 에 그것을 필요로하는 경우 파이썬에서 구현

— ilciavo

x

$x$

@ bela83 초기 조건 이외의 것을 지정할 필요가 없습니다. 그렇게하면 시스템이 과도하게 결정됩니다. 주기적으로 물건을 올바르게 감쌀 수 있도록 간격의 끝점 근처에서 조금만주의하면됩니다. 이를 수행하는 많은 유효한 방법이 있습니다.

— 더그 리핀 스키

-1

이것에 따르면 다음과 같이 주기적 경계 조건을 부과해야합니다.

유 (0, 티) = 유 (1, 티) 유_{엑스} (0, 티) = 유_{엑스} (1, 티)

$\begin{equation} u(0, t) = u(1, t) \\ u_x(0, t) = u_x(1, t) \end{equation}$

후방 오일러를 사용하여 열 방정식을 암시 적으로 분리하는 한 가지 방법은

\frac{유^{엔 + 1} - 유_{엔}}{Δ 티} = \frac{유_{나는 + 1}^{엔 + 1} - 2 유_{나는}^{엔 + 1} + 유_{나는 + 1}^{엔 + 1}}{Δ {엑스}^{2}}

$\begin{equation} \frac{u^{n+1}-u_{n}}{\Delta t}= \frac{u^{n+1}_{i+1}-2u^{n+1}_{i}+u^{n+1}_{i+1}}{\Delta x^2} \end{equation}$

방정식 시스템 풀기

[\begin{matrix} 나는 - \frac{Δ 티}{Δ {엑스}^{2}} ㅏ \end{matrix}] [\begin{matrix} 유_{1}^{엔 + 1} \\ 유_{1}^{엔 + 1} \\ ⋮ \\ 유_{엔}^{엔 + 1} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 유_{1}^{엔} \\ 유_{2}^{엔} \\ ⋮ \\ 유_{엔}^{엔} \end{matrix}]

$\begin{equation} \begin{bmatrix} I-\frac{\Delta t}{\Delta x^2}A \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u^{n+1}_1 \\ u^{n+1}_1 \\ \vdots \\ \\ \\ u^{n+1}_{N} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u^n_1 \\ u^n_2 \\ \vdots \\ \\ \\ u^n_{N} \end{bmatrix} \end{equation}$

ㅏ = [\begin{matrix} - 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 1 & - 2 & 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & 1 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 2 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 & - 2 \end{matrix}]

$\begin{equation} A= \begin{bmatrix} -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 & 0 &\ldots & 0 \\ 0 & 1 & -2& 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 1& -2 & 1 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 0& 1 & -2 & \ldots & 0 \\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots & \ddots &\ddots &\vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots &0 &1 &-2 \end{bmatrix} \end{equation}$

$u_{0}$ $u_{N+1}$

유_{1} - 유_{엔} = 0 \frac{유_{2} - 유_{0}}{2 Δ 엑스} - \frac{유_{엔 + 1} - 유_{엔 - 1}}{2 Δ 엑스} = 0

$\begin{equation} u_1 - u_{N} = 0 \\ \frac{u_{2}-u_{0}}{2 \Delta x} - \frac{u_{N+1}-u_{N-1}}{2 \Delta x} = 0 \end{equation}$

$u_x$

[\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & - 1 & 0 \\ - 1 & 0 & 1 & 0 & \dots & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 나는 - \frac{Δ 티}{Δ {엑스}^{2}} ㅏ & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} 유_{0}^{엔 + 1} \\ 유_{1}^{엔 + 1} \\ 유_{2}^{엔 + 1} \\ 유_{엔}^{엔 + 1} \\ 유_{엔 + 1}^{엔 + 1} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 유_{1}^{엔} \\ 유_{2}^{엔} \\ 유_{엔}^{엔} \end{matrix}]

$\begin{equation} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 & \ldots & 1 & 0 & -1 \\ 0 & & & & & & & 0\\ 0 & & & & & & & 0\\ 0 & & & I-\frac{\Delta t}{\Delta x^2}A & & & & 0\\ 0 & & & & & & & 0\\ 0 & & & & & & & 0\\ 0 & & & & & & & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u^{n+1}_{0}\\ u^{n+1}_1 \\ u^{n+1}_2 \\ \\ \\ \\ \\ u^{n+1}_{N} \\ u^{n+1}_{N+1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ u^n_1 \\ u^n_2 \\ \\ \\ \\ \\ u^n_{N} \end{bmatrix} \end{equation}$

N + 2 방정식과 N + 2 미지수를 제공합니다.

첫 번째 방정식과 고스트 셀을 제거하고 N 개의 방정식과 N 개의 미지수에 도달 할 수 있습니다.

— 일시 아보
소스

u_{- 1}

$u_{-1}$

u_{N}

$u_N$

u_{N}

$u_N$

] 0, 1 [

$]0,1[$

x_{k} = \frac{k}{N + 1}

$x_k=\frac{k}{N+1}$

x_{N} = \frac{N}{N + 1}

$x_N=\frac{N}{N+1}$

N

$N$

u_{0}

$u_0$

u_{N - 1}

$u_{N-1}$

u_{- 1}

$u_{-1}$

u_{N}

$u_{N}$

u_{1}

$u_1$

u_{N}

$u_N$

u_{0}

$u_0$

u_{N + 1}

$u_{N+1}$

u_{0} = u_{N + 1}

$u_0=u_{N+1}$

N + 1

$N+1$

u_{x}

$u_x$

u (0, t) = u (1, t)

$u(0,t)=u(1,t)$

u_{x} (0, t) = u_{x} (1, t)

$u_x(0,t)=u_x(1,t)$

u1 = uN은 시스템에 추가적인 제한 (식 u1−uN = 0)을 추가합니다

— ilciavo