고유 값 문제 확인

양식의 문제로 시작하자

(L + k^{2}) u = 0

$(\mathcal{L} + k^2) u=0$

주어진 경계 조건 세트 ( Dirichlet , Neumann , Robin , Periodic , Bloch-Periodic ). 이는 일부 기하학 및 경계 조건 에서 일부 연산자 대한 고유 값과 고유 벡터를 찾는 것과 일치 합니다. 예를 들어, 음향, 전자기, 탄성 역학, 양자 역학에서 이와 같은 문제를 얻을 수있다. $\mathcal{L}$

나는 다른 방법, 예를 들어 유한 차분 법을 사용하여 연산자를 이산화시킬 수 있다는 것을 알고 있습니다.

[A] {U} = k^{2} {U}

$[A]\{U\} = k^2 \{U\}$

또는 유한 요소 방법을 사용하여

[K] {U} = k^{2} [M] {U} .

$[K]\{U\} = k^2 [M]\{U\} \enspace .$

어떤 경우에는 고유 값 문제 와 일반화 된 고유 값 문제 가 발생합니다. 개별 버전의 문제를 얻은 후 고유 값 문제에 대한 솔버를 사용합니다.

일부 생각

이 경우 해의 균형을 맞추기위한 소스 용어가 없기 때문에 제조 솔루션의 방법은 유용하지 않습니다.
예를 들어 소스 용어에 대한 주파수 영역 문제를 사용하여 행렬 $[K]$ 및 $[M]$ 이 잘 캡처 되는지 확인할 수 있습니다.

$[\nabla^{2} + ω^{2} / c^{2}] u (ω) = f (ω), \forall ω \in [ω_{min}, ω_{max}]$ $[\nabla^2 + \omega^2/c^2] u(\omega) = f(\omega) \enspace ,\quad \forall \omega \in [\omega_\min, \omega_\max]$
대신에

$[\nabla^{2} + k^{2}] u = 0 .$ $[\nabla^2 + k^2] u = 0 \enspace .$
그러나 이것은 해결사 문제를 확인하지 않습니다.
FEM 및 FDM과 같은 다양한 방법에 대한 솔루션을 비교할 수 있습니다.

질문

고유 값 문제에 대한 FEM 및 FDM과 같은 수치 적 방법으로 인해 이산화 체계에 대한 솔루션 (고유 값-고유 벡터 쌍)을 확인하는 방법은 무엇입니까?

— 니코과로
소스

알려진 사례 (스퀘어, 큐브, 원, 구)의 스펙트럼과 결과를 비교할 수 있습니까? 적절한 규범에 따라 고유 벡터와 고유 값에 대한 수렴 률이 예상됩니다 (이 빈도는 빈도에 따라 달라지는 경향이 있지만 저널을 참조하십시오. journals.cambridge.org/action/… )

— Jesse Chan

예, 분석 솔루션과 비교할 수 있습니다. 그러나 일반적으로 간단한 경우에 제공됩니다. 문제는 검증 프로세스를 수행하는 방법에 관한 것입니다. 방법과 유사한 것이 있다면 용액을 제조 하였다. 또는 다른 문제에 대해이 방법을 분석 솔루션과 결합해야하는 경우.

— nicoguaro

하나 개의 차원에서 원하는 시작할 경우 , 및이 하면 분해하려고 할 수 같은 경우 존재를 다음으로 실행 . 이것은 의 대칭 및 기타 속성을 망칠 수 있다고 생각합니다. 여기서 와 는 선형 적으로 독립적이어야하며 같은 시점에서 사라질 수 없습니다.

k, v

$k,v$

(L + k^{2}) v = w \neq 0

$(\mathcal{L}+k^2)v = w \neq0$

w = f v + g v^{'}

$w = fv+gv'$

f, g

$f,g$

L^{'} = L - f - g \partial

$\mathcal{L}'=\mathcal{L}-f-g\partial$

L

$\mathcal{L}$

v

$v$

v^{'}

$v'$

— Kirill

@JesseChan, 제안 된 독서에 감사드립니다. 시간이 좀 걸렸지 만 읽었습니다. 나는 그들이 원하는 목적을 위해 충분한 정보를 제공한다고 생각하지 않습니다.

— nicoguaro

나는 당신을 올바르게 이해했는지 확인하고 싶습니다. 이산 연산자 (매트릭스 또는 행렬)의 계산 된 고유 쌍과 부드러운 연산자의 해당 고유 쌍 사이의 거리를 추정하는 방법을 알고 싶 습니까? 아니면 이산 고유 값 문제를 해결 한 정확도를 추정하는 방법을 알고 싶습니까?

— Carl Christian

나는이 질문이 오래되었다는 것을 알고 있지만 방금 그것을 보았고 흥미 롭습니다. 과거에는이 질문의 의견에서 찾은 제안을 따라 왔으며 문헌에서 익숙한 약간 더 복잡한 사례가 있습니다 (Orr--Sommerfeld는 항상 편리합니다).

그러나 제조 된 솔루션을 구성 할 때 발생하는 불균일 한 고유 값 문제에 대한 일부 문헌도 알고 있습니다. 여기에는 그러한 문제에 대한 논의가 있습니다 : DOI : 10.1016 . 이 저자는 또한이 문제를 완전히 피하기 위해 소위 제조 된 단면적 방법 (MXS, 나는 생각합니다)을 제안합니다. 지금은 이해하지 못하는 척하지만 매우 유용 할 수 있습니다.

— 스펜서 브린 겔슨
소스

그들이 "동종 고유 값 문제"로 제안한 것은 원래 게시물에서 제안한 접근법입니다. 그래도 여전히 제조 단면의 방법을 이해하려고 노력하고 있습니다.

— nicoguaro

나는 그러한 문제들에 대한 일부 문헌이 존재한다는 것을 제안하기 때문에 당신이 제안한 것처럼 막 다른 골목이 아닐 수도 있습니다.

— 스펜서 브린 겔슨

귀하의 게시물에 대한 비판이 아닙니다. 정반대! 나는 토론을 장려하기 위해 참조를 읽은 후에 찾은 것을 언급하고 있습니다.

— nicoguaro

2 차 도함수 (및 단순 도메인의 라플라시안)의 경우, 이산 고유 쌍에 대한 표현을 사용할 수 있습니다 (즉, 이산화 후). 예를 들어 유한 차분의 경우 고유 쌍이 여기 에 나열 됩니다 .

유한 요소 이산화를 갖는 고유 쌍에 대한 표현은 유사하게 찾을 수 있습니다 (P1 및 P2 이산화).

— 사용자
소스