의 널 공간 밖으로 돌출 로부터 에

시스템 주어 여기서 경우, I는 경우 코비 반복 솔버로 사용되며, 그 판독 방법은 수렴하지 않을 비 - 제로를 갖는다 의 널 공간의 구성 요소 . 그렇다면 가 의 null 공간에 걸쳐 0이 아닌 구성 요소를 가지고 있다면 Jacobi 방법은 비 수렴 적이 라고 어떻게 공식적으로 말할 수 있습니까? null 공간에 직교하는 솔루션의 일부가 수렴되기 때문에 어떻게 수학적으로 공식화 될 수 있는지 궁금합니다.

A x = b,

$Ax=b,$

A \in R^{n \times n}

$A\in\mathbb{R}^{n\times n}$

b

$b$

A

$A$

b

$b$

A

$A$

따라서 각 반복에서 의 Null 공간을 투영하여 수렴합니다 (또는?). $A$

.........

I 특히 경우에 관심 널 공간 대칭 라플라시안 행렬이 벡터에 의해 스패닝이다 및 는 널 공간의 , 제로 성분을 가지며 여기서 는 중심 행렬입니다. 이것은 각 Jacobi 반복이 의 null 공간을 투영 한다는 것을 의미합니까? 즉, 각 반복이 중앙에 위치 합니까? 나는 그때부터 이것을 요구하고 있습니다 .Jacobi 반복에서 의 null 공간을 투영 할 필요가 없습니다 (즉, 중심으로

L x = b,

$Lx=b,$

L

$L$

1_{n} = [1 \dots 1]^{T} \in R^{n}

$1_n=[1\dots 1]^T\in\mathbb{R}^n$

b

$b$

L

$L$

J b = b,

$Jb=b,$

J = I - \frac{1}{n} 1_{n} 1_{n}^{T}

$J=I-\frac{1}{n}1_n1_n^T$

L

$L$

L

$L$ 반복).

— 사용자
소스

이 질문은 당신과도 관련이있을 수 있습니다. scicomp.stackexchange.com/questions/1505/…

— shuhalo

감사. 질문 자체에주의를 기울일 필요가 있기 때문에 실제로 내 의견에서 발췌했습니다. 그러나 위의 내용은 다루지 않았다 (적어도 공식화되지는 않았다).

— usero

오, 부끄러운 줄 알았어요

— shuhalo

에 대한 당신의 대답 @JedBrown scicomp.stackexchange.com/questions/1505/... 이 질문에 영감을. 나는 그것이 독립적으로 고려할 가치가 있다고 생각합니다. 위의 질문을 고려할 수있을 것 같습니다.

— usero

용해도에 대한 올바른 조건은 의 null 공간 ( 가 대칭이 아닌 경우 )과는 관련이 없지만 의 null 공간과는 관련이 없습니다 . 만약 다음 것을 의미 , 따라서, 임의의 널 벡터 직교해야 (그렇지 않으면 용액이없고, 자코비 반복 할 이유가 없다 모이다). $A$ $A$ $A^T$ $A^Tu=0$ $Ax=b$ $u^Tb=u^TAx=0$ $b$ $A^T$

그러나 이것이 사실이라면, 해결책이 존재하며, 정사각형의 경우에는 무한히 많다.

단수의 경우,이 조건이 충족되는지 여부를 알 수 없으므로 (어쨌든 반올림으로 인해 망가질 것입니다) 일반적으로 최소 제곱 문제로 문제를 해결할 것입니다. 최소 표준 해를 구하려면 정규 방정식에서 켤레 구배를 사용하십시오. 이를 위해서는 와 의한 코드 곱셈이 필요합니다 . ( 를 곱하는 루틴 만 제공하면 예측 가능한 수렴 속성이 적은 GMRES를 대신 사용할 수 있습니다.) $A$ $A^T$ $A$

— 아놀드 노이 마이어
소스

많은 감사합니다. 특히 Jacobi 방법에 관심이 있습니다 (이론적 이유, 그렇지 않으면 대안에 대한 제안을 받아들입니다). "나는 가 의 null 공간에서 0 성분을 갖는 경우에 특히 관심이 있습니다. 즉, 각 코비 반복 처리가의 널 공간이 있다는 것을 의미 밖으로 예상? 내가 그 이후로이 부탁 해요의 널 공간이 돌출 할 필요가 없을 것입니다 코비 반복 (에서 그렇게, B는 널 (null) 종료가있는 경우 " 공간이 투영되었습니다)."

b

$b$

A

$A$

A

$A$

A

$A$

A

$A$

— usero

@ usero : 내가 말했듯이 의 null 공간은 문제와 관련이 없습니다. 아니면 행렬이 대칭입니까? 또한 Jacobi 방법은 에 대각선이 일정 하지 않으면 의 null 공간에 직교성을 유지하지 않습니다 .

A

$A$

A^{T}

$A^T$

A

$A$

— Arnold Neumaier

질문을 편집했습니다. 행렬 는 널 공간이 모두 1 인 벡터에 걸쳐있는 대칭 (Laplacian)입니다. 그렇다면 가 가운데에 위치 할 때 (위에 정의 된대로) 각 Jacobi 반복이 가운데에 배치됩니까? 혼란을 드려 죄송합니다.

A

$A$

b

$b$

— usero

A

$A$

A = I - B

$A=I-B$

x_{0} = b

$x_0=b$

x_{n + 1} = b + B x_{n}

$x_{n+1}=b+Bx_n$

A u = 0

$Au=0$

u^{T} b = 0

$u^Tb=0$

u^{T} B = u^{T}

$u^TB=u^T$

u^{T} x_{n}

$u^Tx_n$ 유도에 의해 일정하므로 0입니다. -그러나 왜 Jacobi 방법에 관심이 있습니까? 그것은이다 매우 느린!

— Arnold Neumaier

B

$B$

A

$A$

d i a g (A) \neq c \cdot I

$diag(A)\neq c\cdot I$

c \in R

$c\in \mathbb{R}$