이류 방정식에 대한 암시 적 유한 차분 법

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이류 방정식 대한 수많은 FD 체계가 있습니다웹에서 토론하십시오. 예를 들면 다음과 같습니다. http://farside.ph.utexas.edu/teaching/329/lectures/node89.html $\frac{\partial T}{\partial t}+u\frac{\partial T}{\partial x}=0$

그러나 나는 다음과 같은 "암시 적"상향식 체계를 제안하는 사람을 본 적이 없다 : 입니다. $\frac{T^{n+1}_i-T^{n}_i}{\tau}+u\frac{T^{n+1}_i-T^{n+1}_{i-1}}{h_x}=0$

내가 본 모든 상향식 체계는 spacial 파생 상품의 이전 시간 단계에 대한 데이터를 다루고있었습니다. 그 이유는 무엇입니까? 고전적인 상향 체계는 위에서 쓴 것과 어떻게 비교됩니까?

finite-difference implicit-methods advection

— 티암
소스

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계산 유체 역학에서는 제안한 것과 유사한 암시 적 체계를 사용하는 것이 일반적입니다. 내가 아는 것은 간단한 유한 차분 공식을 기반으로합니다 ( 기존 체계에서 을 로 바꾸는 것이 아니라 ). 예를 들어, 가장 널리 사용되는 체계 중 하나는 1992 년 Lele에 의해 > 2500 인용 으로 개발되었습니다 . 이러한 방식은 전형적인 명시 적 방식보다 더 나은 분산 특성을 갖도록 만들 수 있습니다. $n$ $n+1$

암시 적 방법과 시간 간격이 큰 단계를 사용할 때는 일반적으로 업 와인딩이 덜 중요합니다. 제레미가 언급 한 엄청난 양의 확산으로 인해 충격을 해결할 수 없기 때문입니다.

제안하는 특정 계획과 관련하여 :

공간의 후방 차이와 시간의 후방 (암시 적) 오일러 방법을 사용하여 라인 방법 이산화로부터 얻을 수 있습니다.
무조건 안정적입니다 (흥미롭게도 시간 단계가 너무 작지 않으면 에서도 안정적입니다 !). $u\ge0$ $u<0$
기존의 명시 적 상향식 체계보다 더 소 산적입니다.
$\tau u/h = 1$ $\tau u/h = -1$

— 데이비드 케 치슨
소스

간결한 체계에 대한 좋은 지적은 분명히 암시 적 체계의 중요한 클래스입니다! ... 또한, 반 단위 CFL 조건에 대해 생각해 본 적이 뒤로 오일러 정확한 인

— 제레미 Kozdon

u

$u$

x

$x$

ρ

$\rho$

T

$T$

그것이 내 문제의 경우 일 수 있기 때문에 부정적인 속도를 치료할 수 있다면 좋습니다.

— tiam

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당신이 쓴 것을 할 수없는 이유는 없습니다. 이것이 드문 이유 중 하나는 쌍곡 형 (청취) 유형 문제에 대한 의존 영역이 유한하기 때문입니다. 따라서 명시적인 방법은 계산 효율성 측면에서 의미가 있습니다.

작성한 암시 적 체계는 삼각법을 작성한 경우에도 선형 시스템을 풀어야하므로 해결하기가 매우 간단합니다. 물론 시스템과 여러 차원으로 갈 때 시스템은 삼각형이 아닐 수 있지만 때로는 알 수없는 순서로 정렬 될 수 있습니다 (예 : Kwok and Tchelepi, JCP 2007 및 Gustafsson 및 Khalighi, JSC, 2006 참조) ).

때로는 많은 시간을 걸고 사람들이 글을 쓴 것처럼 암묵적인 시간 스텝핑을 사용하기를 원하지만 여기서주의해야합니다. 암시 적 방법을 사용하는 경우 많은 양의 확산이 발생하므로 솔루션이 크게 번집니다.

— 제레미 코즈 돈
소스

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@Jeremy : 왜 내시적인 불연속 화가 추가적인 확산을 가져 오는가? 에

x

$x$ -변하기 쉬운? 상향식 체계 = 중앙 이산화 + 확산이라고 생각할 수 있는데, 왜 다른 시간 이산이이 확산에 영향을 미칠까요?

— Kamil