특이 선형 ODE의 고유 시스템을 찾기위한 유한 차분 법의 정확도를 어떻게 향상시킬 수 있습니까?

유형의 방정식을 풀려고합니다.

$\left( -\tfrac{\partial^2}{\partial x^2} - f\left(x\right) \right) \psi(x) = \lambda \psi(x)$

여기서 $f(x)$ 는 가장 작은 N 고유 값과 고유 벡터에 대해 간단한 극점을 갖습니다 . 경계 조건은 ψ ( 0 ) = 0 및 ψ ( R ) = 0 이며 ( 0 , R ] 이상 함수 만보고 있습니다.$0$$N$$\psi(0) = 0$$\psi(R)=0$$(0,R]$

그러나 매우 단순하고 균등 한 유한 차분 법을 수행하면 가장 작은 고유 값이 매우 부정확합니다 (때때로 내가 알고있는 것보다 몇 배 더 큰 음수 인 "거짓"고유 값이 있음). "첫 번째 고유 값"은 두 번째가되지만 여전히 나쁩니다.

유한 한 차이 체계의 정확성에 어떤 영향을 미칩니 까? 나는 특이점이 문제의 원인이며 불균일 한 격자가 크게 개선 될 것이라고 가정합니다. 그러나 차수가 높을수록 더 향상 될까요? 당신은 어떻게 결정합니까 (또는 그냥 "둘 다 시도하고 참조하십시오")

참고 : 유한 차분 방식은 3 개의 대각선이있는 대칭 삼각형입니다.

$\left( -\frac{1}{2 \Delta^2}, \; \frac{1}{\Delta^2} - f(x), \; -\frac{1}{2 \Delta^2} \right)$

여기서 는 그리드 간격입니다. 그리고 직접 대칭 솔버를 사용하여 행렬을 풀고 있습니다 (솔버가 정확도에 크게 영향을 미치지 않는다고 가정합니다. 틀렸습니까?)$\Delta$

유한 차이 체계의 정확도를 높이려면 항상 스텐실의 정도를 높이십시오. 그러나 등거리 지점에서는 수치 적으로 불안정해질 수 있습니다. 이러한 문제를 피하고 여전히 높은 정확도를 얻으려면 Spectral Methods 사용을 제안 합니다.

문제가 해결 된 극점 인 경우 도메인을 분할하고 두 개의 연결된 문제를 해결하여 문제를 해결할 수 있습니다.

Chebfun의 시스템 (면책 조항 : 어느 나는 개발자 중 하나입니다)는 위에서 언급 한 기술을 사용하여 당신은 당신의 문제에 빠른 스핀 줄 수있는 chebgui인터페이스를. 나는 그것을 직접 시도했지만 도메인이나 가 무엇인지 모른다 .$f(x)$

chebgui$-u''(x) - u(x)x = \lambda u$$[-1,1]$

최신 정보

Chebfun에 너무 많이 들어 가지 않고이 문제를 해결하려면 모든 세부 사항이 Nick Trefethen의 " 스펙트럼 방법 Matlab " 9 장에 나와 있습니다 .

$\Delta x$$f(x)\psi(x)$$f(x)$$f(x_i)$$\int_{x_{i-1}}^{x_{i+1}} f(x) \varphi_i(x)$$\varphi_i(x)$$x_i$$f(x)$

물론 이미 유한 요소를 사용하는 경우 1d에서 그다지 어렵지 않은 고차 요소를 사용하는 것도 좋습니다.