1D 이류 방정식의 수치 해에서 스퓨리어스 진동에 대한 경계를 어떻게 도출 할 수 있습니까?

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다음과 같은주기적인 1D 이류 문제가 있다고 가정합니다.

$\frac{\partial u}{\partial t} + c\frac{\partial u}{\partial x} = 0$ 에 $\Omega=[0,1]$
$u(0,t)=u(1,t)$
$u(x,0)=g(x)$
어디 $g(x)$ 점프 불연속이있다 $x^*\in (0,1)$ .

1 차보다 높은 선형 유한 차분 방식의 경우 시간이 지남에 따라 진행되는 불연속 근처에서 스퓨리어스 발진이 발생하여 예상 파형에서 솔루션이 왜곡되는 것으로 이해합니다. Wikipedia의 설명 에 따르면 , 이러한 진동은 일반적으로 불연속 함수가 유한 푸리에 계열로 근사 될 때 발생하는 것으로 보입니다.

어떤 이유로, 나는이 PDE의 솔루션에서 유한 푸리에 시리즈가 어떻게 관찰 될 수 있는지 알 수없는 것 같습니다. 특히, "오버 슈트"에 대한 분석을 어떻게 분석 할 수 있습니까?

pde finite-difference advection

— 바울
소스

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1 차 상향식 방법은 모노톤입니다. 스퓨리어스 발진은 발생하지 않습니다. 그러나 그것은 단지 1 차 정확하기 때문에 많은 목적으로 사용할 수 없을 정도로 많은 수치 확산을 초래합니다. Godunov의 정리 는 1 차보다 높은 선형 공간 이산화는 모노톤이 될 수 없다고 말합니다. 진동을 엄격하게 제어하기 위해 TVD (Total Variation Diminishing) 체계를 사용합니다. TVD 방법은 일반적으로 2 차 정확도로 제한됩니다. 더 높은 차수를 위해서는 (Weighted) Essential Non-Oscillatory ((W) ENO)와 같은 TVB (Total Variation Bounded) 방법을 사용하여 요청을 완화하거나 TVD의 정의를 "최대 원리 보존"으로 완화해야합니다. 또는 초기 극단이 초기 재구성 된 솔루션의 관점에서특별 제한 체계 .

— 제드 브라운
소스

사과합니다. 어떤 이유로 든, 이것이 첫 번째 주문 체계에서도 마찬가지라는 인상을 받았습니다. 이 의견을 반영하기 위해 질문을 편집했습니다.

— Paul

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주기적인 경계를 갖는 1D 문제의 선형 유한 차이 이산화는 형태의 이산화를 초래합니다

U^{n + 1} = L U^{n}

$U^{n+1} = LU^n$

어디 $L$ A는 순환 행렬 . 모든 순환 매트릭스의 고유 벡터는 이산 푸리에 모드입니다

v_{j} = \exp (i j h ξ)

$v_j = \exp(ijh\xi)$ (여기

h

$h$ 그리드 간격이며

ξ

$\xi$ 0에서 최대 그리드 수로 표시되는 최고 웨이브 수의 범위 인 웨이브 넘버입니다. 이 고유 벡터는 그리드에 표시 될 수있는 모든 함수의 기초를 형성합니다. 이러한 이산 푸리에 모드로 솔루션을 표현하면 수치 방법이 대각선 화됩니다. 즉, 각 푸리에 성분에 각 단계에서 (일반적으로 복잡한) 스칼라 계수가 곱해집니다. 스칼라 인자는 종종 증폭 인자라고하며, 방금 설명한 것은 폰 노이만 분석이라고 합니다. 이것은 선형 PDE의 푸리에 분석과 유사합니다. 선형 PDE는 푸리에 기준을 사용하여 선형 미분 연산자를 "대각 화"합니다.

예를 들어 Strikwerda 또는 LeVeque 의 텍스트에서 멋진 설명을 찾을 수 있습니다 .

— 데이비드 케 치슨
소스

폰 노이만 분석에 익숙합니다. 그러나이 분석을 사용하여 스퓨리어스 진동에 대한 경계를 도출 할 수 있습니까?

— Paul

나는 주로이 PDE의 솔루션에서 유한 한 푸리에 계열이 어떻게 관찰되는지 이해할 수없는 당신의 진술에 응답하고있었습니다 . 그러나 그렇습니다.이 분석에서 그러한 한계를 얻을 수 있습니다. 예를 들어 모든 모드가 건설적으로 방해되는 최악의 시나리오를 볼 수 있습니다. 그러나 이것은 매우 비관적 일 수 있습니다. 실제로, 나는 TVD 또는 TVB 이외의 다른 경계를 파생시키는 사람을 보지 못했습니다 (이것은 매우 강력하고 선형 체계를 유지하지 않습니다).

— David Ketcheson

가장 높은 파수 모드에 대한 분산 관계를 보면 더 흥미로운 경계를 가질 수 있습니다. 그러나 나는 그것을 본 적이 없다.

— David Ketcheson

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모든 가짜 진동이 깁스 현상 인 것은 아닙니다. 그것들은 비슷해 보이지만 불연속 함수의 모든 유한 푸리에 근사에 대한 깁스 진동이 있습니다 (더 많은 용어를 추가할수록 더 작아집니다). 반면, 무한 차를 필요로하지 않는 PDE에 대한 유한 차분 근사해로부터 비 연속 함수의 비진 동적 표현이 있습니다.

Bathe ( Upwind 방법의 Inf-sup 테스트 , PDF)에는 1-D의 유한 요소 방법 (대류 확산, IIRC)에 대한 논문이 있습니다. $\inf$ - 상태 및 진동 관련. 그로부터 약간의 통찰력을 얻을 수 있습니다. $\sup$

— 빌 바스
소스

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이것은 유용한 논문이지만, in-sup 안정성은 진동에 대한 강력한 제어를 제공하지 않습니다. 예를 들어, 어떤 inf-sup 안정성도 TVD 방법을 제공 할 수 없습니다. Godunov의 정리에 비추어, 1 차보다 큰 비 진동 솔루션을 가지려는 경우 선형 공간 이산화를 추구하는 것은 의미가 없습니다. Peclet 번호는이 백서의 모든 방법에 나타나며,이 방법 은 TVD가 아닌 와 같이 1 차 정확도로 저하됩니다 .

P e \to \infty

$\mathrm{Pe}\to \infty$

— Jed Brown

이것들은 모두 진실한 진술입니다. 대류 확산 문제에만 적용됩니다.

— Bill Barth

2

유한 푸리에 계열과 유한 요소 근사치 간의 연결에 대한 마지막 질문은 일반적 으로 기본 기능이 연속적인 유한 차원 공간으로 점프하여 함수 를 투영 하려고 하면 Gibbs 현상이 발생합니다. 기저가 유한 푸리에 계열 (기초 함수가 사인과 코사인 인 경우)이거나 기저가 일반적인 유한 요소 모자 함수 인 경우에는 투영의 속성과 기본 함수의 부적합입니다.

— 볼프강 뱅 거스
소스

나는 실습을 벗어 났기 때문에 잘못되었다는 것을 기쁘게 생각하지만, 더 이상의 자격없이 모자 기능에 대한 투영에 대한 귀하의 의견은 구입하지 않습니다. 첫해 FEM 클래스의 오래된 1-D MATLAB 코드를 사용한 빠른 계산 은 모자 함수를 사용하여 단계 함수를 에 투영하는 것이 진동하지 않음을 보여줍니다 . 내가 잃어버린 것을 보여줄 수있는 예가 있습니까?

H_{0}^{1}

$H_0^1$

— Bill Barth

신경 쓰지 마. 오래된 코드는 오래되었습니다. 진동을 재현 할 수 있습니다. 이전 의견이 철회되었습니다.

— Bill Barth

도움을 드릴 수있어서 다행입니다 :-)

— Wolfgang Bangerth

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한 가지 방법은 등가 방정식, 즉 이산 법이 가장 가까운 근사치를 제공하는 미분 방정식을 이용하는 것입니다. 이것은 결코 해결하려는 미분 방정식이 아닙니다. 그런 다음 초기 함수로서의 단계 함수에 대해 등가 방정식의 점근 솔루션을 살펴 봅니다. Bouche, D., Bonnaud, G. and Ramos, D., 2003을 보라. 대류 방정식을 푸는 수치 체계의 비교. 응용 수학 글자, 16 (2), 147-154 쪽.

— 필립 로우
소스