Newton-Raphson 이외의 비선형 전파 확산 시스템을 해결하는 방법?

나는 각각의 소스 용어를 통해 두 개의 adv-diff 결합 도메인을 가지고있는 프로젝트를 진행하고 있습니다 (하나의 도메인은 질량을 더하고 다른 하나는 질량을 뺍니다). 간결하게하기 위해, 나는 그것들을 꾸준한 상태로 모델링하고 있습니다. 방정식은 소스 용어가 다음과 같은 표준 advection-diffusion transport 방정식입니다.

\frac{\partial 씨_{1}}{\partial 티} = 0 = {에프}_{1} + 큐_{1} (씨_{1}, 씨_{2}) \frac{\partial 씨_{2}}{\partial 티} = 0 = {에프}_{2} + 큐_{2} (씨_{1}, 씨_{2})

$\frac{\partial c_1}{\partial t} = 0 = \mathcal{F}_1 + \mathcal{Q}_1(c_1,c_2) \\ \frac{\partial c_2}{\partial t} = 0 = \mathcal{F}_2 + \mathcal{Q}_2(c_1,c_2)$

여기서 는 종 대한 확산 및 진행 플럭스 이고 는 종 의 소스 용어입니다 . $\mathcal{F}_i$ $i$ $\mathcal{Q}_i$ $i$

나는 Newton-Raphson 방법을 사용하여 내 문제에 대한 솔버를 작성할 수 있었고 블록 질량 행렬을 사용하여 두 도메인을 완전히 결합했습니다.

F_{c o u p l e d} = [\begin{array}{cc} A_{1} & 0 \\ 0 & A_{2} \end{array}] \underset{x_{i}}{\underset{⏟}{[\begin{matrix} c_{1, i} \\ c_{2, i} \end{matrix}]}} - [\begin{matrix} b_{1} (c_{1, i}, c_{2, i}) \\ b_{2} (c_{1, i}, c_{2, i}) \end{matrix}]

$F_{coupled} = \left[\begin{array}{c c} A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \\ \end{array}\right]\underbrace{ \left[\begin{array}{c} c_{1,i} \\ c_{2,i} \\ \end{array}\right] }_{x_i} - \left[\begin{array}{c} b_1(c_{1,i}, c_{2,i}) \\ b_2(c_{1,i}, c_{2,i}) \\ \end{array}\right]$

라는 용어 는 Jacobian 행렬을 결정하고 과 모두 업데이트하는 데 사용됩니다 . $F_{coupled}$ $c_1$ $c_2$

J (x_{i}) [x_{i + 1} - x_{i}] = - F_{c o u p l e d}

$\mathcal{J}(x_i) \left[x_{i+1} - x_i \right] = -\mathcal{F}_{coupled}$

또는

x_{i + 1} = x_{i} - {(J (x_{i}))}^{- 1} F_{c o u p l e 디}

$x_{i+1} = x_i - \left(\mathcal{J}(x_i)\right)^{-1} \mathcal{F}_{coupled}$

작업 속도를 높이기 위해 모든 반복마다 Jacobian을 계산하지 않습니다. 지금은 5 번 반복 할 때마다 제대로 작동하는 것처럼 보이며 솔루션을 안정적으로 유지합니다.

문제는 : 두 도메인이 모두 2D / 2.5D 인 더 큰 시스템으로 이동하고 Jacobian 행렬을 계산하면 사용 가능한 컴퓨터 리소스가 빨리 고갈 될 것입니다. 나중에 최적화 설정에 사용하기 위해이 모델을 작성 중이므로 감쇠 계수 등을 조정할 때마다 반복 할 때 휠 뒤에있을 수 없습니다.

내 문제에 대한보다 강력하고 알고리즘을 다른 곳에서 찾고 있습니까? 아니면 얻을 수있는만큼 좋습니까? Quasi-linearization에 대해 조금 살펴 보았지만 그것이 내 시스템에 어떻게 적용되는지 확실하지 않습니다.

Jacobian을 offen으로 다시 계산하지 않고 비선형 방정식 시스템을 해결할 수있는 다른 매끄러운 알고리즘이 있습니까?

— cbcoutinho
소스

AMG-대수 멀티 그리드 방법과 같은 반복 솔버를 고려 했습니까? 물리학을 기반으로 한 훌륭한 전제 조건을 마련해야 할 수도 있습니다.

— NameRakes

병렬 선형 대수 패키지를 사용하여 Jacobian 구성 및 솔루션을 배포 할 수있는 컴퓨팅 클러스터에 액세스 할 수 있습니까?

— Bill Barth

아니요, 저는 AMG를 고려하지 않았습니다. 그것들은 대칭 시스템에만 해당되며 대류가 지배적 인 문제에 사용될 수 없다고 생각했습니다. AMG에 대한 문헌을 다시 살펴볼 것입니다.

— cbcoutinho

이 프로젝트는 이러한 종류의 리소스에 액세스 할 수없는 동료를위한 독립 실행 형 응용 프로그램으로 개발되고 있기 때문에 병렬 계산이 어렵습니다. 나는 내 자신을 위해 프로젝트에 mpi를 개발하는 것을 고려했지만, 그것은 다른 사람들의 진입 장벽을 증가시킬 것이다. 이것은 처음부터 요점이었다.

— cbcoutinho

야곱을 계산하는 것이 왜 그렇게 문제가됩니까? 유한 차분 / 볼륨 / 요소를 사용하는 경우 항상 같은 희소 부분과 변경되지만 계산하기 쉬운 사선 부분이 있어야합니다.

— David Ketcheson

답변:

2D 및 3D의 제한이 Jacobian을 저장한다고 가정합니다.

한 가지 옵션은 시간 미분을 유지하고 명시적인 "의사"시간 스테핑을 사용하여 정상 상태로 반복하는 것입니다. 일반적으로 확산 및 반응 시스템에 필요한 CFL 수는 엄청나게 작아 질 수 있습니다. 비선형 멀티 그리드 (Full Approximation Storage 멀티 그리드라고도 함)와 로컬 타임 스텝핑을 사용하여 수렴 속도를 높일 수 있습니다.

다른 옵션은 지금하는 것처럼 완전히 암시적인 구성표를 사용하는 것이지만 글로벌 Jacobian은 저장하지 않습니다. 매트릭스없는 암시 적 체계를 사용할 수 있습니다.

D F (u^{n}) δ u^{n} = - F (u^{n})

$DF(u^n)\, \delta u^n = -F(u^n)$ (어디

D F

$DF$ 는 Jacobres입니다) GMRES 및 BiCGStab과 같은 Krylov 부분 공간 솔버로 해결할 수 있습니다.

디 에프 (유^{엔}) δ 유 \approx \frac{에프 (유^{엔} + ϵ \frac{δ 유}{” δ 유 ”}) - 에프 (유^{엔})}{ϵ} .

$DF(u^n)\, \delta u \approx \frac{F(u^n+\epsilon\frac{\delta u}{\Vert\delta u\Vert}) - F(u^n)}{\epsilon}.$ GMRES와 BiCGStab에는 LHS 매트릭스가 필요하지 않기 때문입니다.

A

$A$ 제품 만 계산하면됩니다.

A x

$Ax$ 벡터를 부여

x

$x$ .

이제 적절한 값으로 $\epsilon$ (보통 약 $10^{-7}$ 배정 밀도 부동 소수점의 경우) Jacobian을 계산하거나 저장하지 않고도 Newton 루프를 실행할 수 있습니다. 나는이 기술이 계산 유체 역학에서 사소한 경우를 해결하는 데 사용된다는 사실을 알고 있습니다. 그러나 함수의 평가 횟수는 $F$ 행렬-벡터 곱을 요구하는 대신 행렬-저장 기술보다 더 많이 사용될 것입니다.

주의해야 할 또 다른 사항은 강력한 전제 조건이 필요한 시스템 (예 : Jacobi 또는 block-Jacobi로는 충분하지 않음) 인 경우 위에서 언급 한 방법을 멀티 그리드 체계에서 더 매끄럽게 사용하는 것이 좋습니다. 포인트 또는 블록 -Jacobi 전제 조건을 사용하려면 Jacobian의 대각선 요소 또는 대각선 블록 만 계산하고 저장할 수 있습니다. 또한 Gauss-Seidel 또는 SSOR 프리 컨디셔너가 Jacobian을 명시 적으로 저장하지 않고도 구현할 수 있다고 언급합니다. 이 논문 은 계산 유체 역학의 맥락에서 매트릭스없는 대칭 Gauss-Seidel로 사전 조정 된 매트릭스없는 GMRES의 구현을 설명합니다.

— Aditya Kashi
소스

Navier-Stokes 방정식에 대한 나의 경험을 통해 완전히 암시적인 체계 없이도 잘 할 수 있습니다.

시간 진화 솔루션에 대한 빠른 수치 체계를 원한다면 IMEX (암시 적-명시 적) 체계를 살펴보십시오. 예를 들어 시간 의존적 부분 미분 방정식에 대한 Ascher, Ruuth, Spiteri 암시 적 명시 적 런 -쿠타 방법 의이 논문을 참조하십시오 .

단계 크기 제어 (예 : Matlab 's ODE45) 와 함께 명시 적 고차 시간 통합 체계를 사용하려고 할 수도 있습니다 . 그러나 확산 부분에서 비롯된 시스템의 강성으로 인해 문제가 발생할 수 있습니다. 운 좋게도 확산 부분은 선형이므로 IMEX 방식의 아이디어입니다.

— 얀
소스

처음에는 말만 추가하는 것을 고려했지만 공간이 충분하지 않아서이 주제에 대한 경험에 대한 간단한 설명을 추가합니다.

먼저, 당신의 표기법을 찾고 $F_{coupled}$ 결합 된 형태가 보이지 않습니다. $b_1$ 과 $b_2$ 둘 다에 의존해야한다 $c_{1,i}$ 과 $c_{2,i}$ . 게다가 $A_1$ 과 $A_2$ 근사치의 행렬 표현 $\mathcal{F}_1$ 과 $\mathcal{F}_2$ 그런 다음에 만 의존해서는 안됩니다 $c_i$ 이웃 값에도 적용되지만 이는 표기법을 잘못 이해 한 것일 수 있습니다.

일반적인 의견으로는 분석 Jacobico를 사용하는 것이 비선형 반복 솔버 (즉, 귀하의 경우 Newton-Raphson 솔버)의 2 차 수렴을 얻는 유일한 방법 인 것 같습니다. 당신의 경우에 그것을 관찰 했습니까? 근사치 (선형화)에 약간의 오해가있을 수 있으므로 매우 중요합니다.

내가 사용한 모든 응용 프로그램에서 (일부 대규모 계산 포함) 우리는 Jacobian을 조립하는 데 시간이 걸리지 않았으며 가장 시간이 많이 걸리는 문제는 항상 선형 솔버를 적용하는 것이 었습니다. 분석 Jacobian (사용 가능한 경우)은 항상 2 차 수렴으로 인해 선호하는 선택을 위해 노력하고있는 응용 프로그램에서 사용되었습니다. 이러한 비선형 솔버는 반복 선형 솔버의 수렴에 문제를 일으키는 매트릭스를 생성하는 경우가 거의 없으므로, 분석 자 코비안보다 간단한 선형화를 사용하여 선형 솔버를 지원하려고했습니다. 비선형 대수 시스템의 선형화에 따른 비선형 대수 솔버와 선형 대수 솔버의 동작 사이의 상충 관계는 항상 까다 로웠으며 일반적인 권장 사항을 제시 할 수 없었습니다.

그러나 PDE 시스템에 대한 분석 Jacobian의 단점 (또는 속성)은 결합 대수 시스템을 생성한다는 것입니다. 따라서 이러한 시스템을 분리하면 반복 분할로 각 PDE의 근사값을 별도로 풀 수 있습니다. 방법을 다시 사용하면 전역 솔버의 2 차 수렴이 풀립니다. 그러나 적어도 개별 (분리 된) PDE를 개별적으로 해결하면 Newton-Raphson 방법을 사용하여이 특정 문제에 대한 솔루션의 속도를 다시 높일 수 있습니다.

— 피터 프 롤코 비치
소스

Howdy @Peter, 당신은 커플 링에 대해 옳습니다.

b_{1}

$b_1$ 과

b_{2}

$b_2$ 둘 다의 기능이다

c_{1}

$c_1$ 과

c_{2}

$c_2$ . 매트릭스

A_{1}

$A_1$ 과

A_{2}

$A_2$ 이 경우 유한 요소법을 사용하여 개발 된 두 시스템의 강성 매트릭스입니다. 그것들은 노드의 좌표 함수이며 상태 변수는 아닙니다.

F_{1}

$F_1$ 과

F_{2}

$F_2$ 벡터이므로 하나의 변수가 아닌 상태 변수 벡터의 함수입니다. 유한 차이를 사용하여 숫자로 자 코비안을 계산합니다. 나는 지금까지 분석적인 야 코비안을 조사하지 않았습니다.

— cbcoutinho