파워 시리즈 맵 사용

특히 원형 저장 링 과 관련된 가속기 물리학 분야에서 왔습니다.싱크로트론 광원 용. 고 에너지 전자는 링 주위를 순환하며 자기장에 의해 안내됩니다. 전자는 수십억 번 순환하며 안정성을 예측하려고합니다. 위상 공간 (위치, 운동량 공간)의 관점에서 링의 한 지점에서 전자의 움직임을 설명 할 수 있습니다. 링 주위를 돌 때마다, 입자는 새로운 위치와 운동량으로 돌아갑니다. 이것은 "1 턴 맵"이라고 불리는 위상 공간의 맵을 정의합니다. 우리는 원점에 고정 점이 있다고 가정 할 수 있으며, 따라서 전력 계열로 확장 될 수 있습니다. 따라서 반복 전력 계열 맵의 안정성에 대해 알고 싶어합니다. 이것에 대한 많은 어려운 질문이 있으며 주제에는 오래된 역사가 있습니다. 소위 Truncated Power Series Algebra를 구현하기 위해 수많은 라이브러리가 구현되었습니다. (예를 들어Y. Yan의 zlib에 관한 이 논문 . 물리학에 대한 더 많은 배경 지식과 분석에 대한 한 가지 접근법은 Bazzani et. 알. 여기에 .) 문제는 이러한 라이브러리를 사용하는 방법과 안정성 문제를 해결하는 방법입니다. 빔 다이내믹스에 사용되는 주요 접근 방식은 정상적인 형식 분석이었습니다. 스펙트럼 방법의 일종 아마도 같은 라인을 따라 (다른 분야에서 개발되었다 궁금 이?). 누군가 원점에서 고정 점이있는 반복 전력 계열 맵의 장기 안정성이 분석되는 다른 영역을 생각할 수 있으므로 지식을 공유하거나 새로운 아이디어를 얻을 수 있습니까? 내가 아는 한 가지 예는 원자 물리학에서 Fishman과 "가속기 모드"의 작업입니다. 다른 사람이 있습니까? 다른 시스템을 차기 회 전자 또는 Henon 맵으로 모델링 할 수 있습니까?

algorithms polynomials

— 보아스
소스

용어를 좀 더 정교하게 정리하면 도움이 될 것 같습니다. 예를 들어, 여러분이 언급 한 모든 수학적 개념에 익숙하지만 "단계 공간 맵"으로이 문맥에서 의미하는 바를 정확하게 시각화 할 수 없습니다. 나는 당신의 특정 분야에서 이것은 설명이 필요하지 않다고 확신하지만, 다른 전문 분야의 사람들은 당신이 의미하는 바를 조금 더 설명하면 실제로 당신을 도울 방법을 알고 있음을 알 수 있습니다.

— Colin K

이 사이트는 실제로 여러 과학 분야의 사람들을 모을 것이기 때문에 필드 별 용어를 정의하는 것 (또는 적어도 설명에 대한 링크)이 특히 중요합니다.

— David Z

합의, 콜린, 데이비드 의견 주셔서 감사합니다. 위상 공간은 위치-운동량 공간입니다. 고리에서 한 위치를 생각하면 전자는 가로 위치와 운동량 (속도)을 갖습니다. 링 주위를 한 번 돌고 나면 새로운 위치와 속도를 갖게됩니다. 이를 1 턴 맵이라고합니다. 선형 인 경우 위상 공간에서 타원을 추적하는 고조파 발진기와 같습니다. 원형 인 경우, 맵은 x_1 = cos (theta) x_0 + sin (theta) p_0 및 p_1 = -sin (theta) x_0 + cos (theta) p_0 형식입니다. 그것은 명확합니까?

— 보아스

빔 물리 및 계산에서 문헌에 대한 몇 가지 참조를 추가하고 위상 공간에 대한 간단한 정의를 추가했습니다.

— 보아스

덧붙여, 나는 스택 교환, 수학에 비슷한 질문 물었다 여기를 . 나는 수학적 관점에서 안정성 질문에 대한 해결책에 대해 묻고있었습니다. 여기서는 다른 과학적 주제에서도 같은 문제가 있는지 궁금합니다. 그것이 다소 일반적인 것처럼 보이지만 빔 역학의 외부와는 크게 관련이 없습니다. 내가 아는 한 영역 은 원자 물리학의 가속기 모드 입니다. 다른 사람이 있습니까?

— 보아스

답변:

당신은 아마 이것을 이미 알고 있지만 혼돈 이론과 프랙탈 세계에서 나온 것처럼 들립니까? (따라서 계산 상 "어려워"입니다)

당신의 질문에, 당신은 행성 역학과 N-body 문제의 세계를 보았습니까? 이것들은 또한 반복적 인 솔루션을 사용하도록 강요되며, 근본적인 물리학은 N ^ 2이지만, 힘의 근원은 일반적으로 움직일 수 있습니다.

내가 본 이후 오랜 시간이 지났지 만, 안정성 사운드의 위상 맵에 대한 언급은 Henon Maps와 매우 흡사합니다. 나는 이것들이 더 넓은 응용을 가져야한다고 확신하지만, 그것들은 일반적으로 행성의 안정성 (예를 들어, 행성-달 시스템에서 두 번째 달의 안정성)의 관점에서 설명됩니다.

— winwaed
소스

네, Henon 맵은 정확히 가속기 빔 다이내믹스에있는 것입니다. N-body 문제와 비슷한 문제는 공간이 훨씬 크다는 것입니다. "위상 공간 (phase-space)"은 6xN 차원 인 반면, 저장 링 (storage ring)의 단일 입자의 경우 일반적인 경우 6 차원에 불과합니다. 역학을 모델링하기 위해 다른 도메인이 Henon-map과 같은 것으로 끝나는 것에 대해 궁금합니다. 혼돈 이론 경로를 따라 인구 역학 이론도 살펴 보았습니다. 답변 해주셔서 감사합니다.

— 보아스

이산 동적 시스템 의 점근 적 동작을 조사 할 수 있습니다. 수학에는이 주제에 관한 풍부한 이론적 문헌과 물리학과 컴퓨터 과학에 더 많이 적용되는 문헌이 있습니다.

— MRocklin
소스

맥클린 감사합니다. 나는 일반적인 문헌을 조금 보았고 해결책을 찾지 못했거나 너무 수학적 일 수 있었고 그것을 이해할 수있는 방식으로 제기 된 동일한 문제를 찾지 못했습니다.

— 보아스

이 분야의 몇 가지 질문은 다음과 같습니다. (1) 궤도를 형성합니까? 즉, 여러 번 반복 한 후에 같은 지점으로 돌아 갑니까? (2) 시스템이 작은 섭동에 민감합니까? 즉, 시작 상태에서 약간 벗어난 상태를 시작하면 완전히 다른 위치에있게됩니까? (3) 어떤 종류의 섭동은 다른 사람들이 길들인 동안 거칠게 행동합니까? 이러한 종류의 질문에 대한 답변을 제공하면 실제 시스템의 속성에 대한 통찰력을 얻을 수 있습니다.

— MRocklin

(1) 원점 근처에서 역학은 안정적이며 폐쇄 궤도를 형성합니다. 더 나아가서, 때때로 다른 안정 섬을 찾습니다. 그리고 더 멀리, 역학은 불안정합니다. 즉 끝이 없습니다. (2) 일부 측면은 민감하고 일부는 그렇지 않습니다. 안정적인 궤도는 어떤 종류의 섭동에도 민감하지 않습니다. (3) 섭동은 일반적으로 일정한 빈도로 주기적으로 작용합니다. 일부 주파수는 공진을 일으켜 작은 섭동에도 역학을 극적으로 변화시킬 수 있습니다. 그러나 어떤 주파수가 위험한지 미리 알고있는 것은 잘 알려져 있지 않습니다.

— 보아스

Taylor 모델 방법을 살펴 보는 것이 유용 할 수 있습니다. 이것은 좋은 개요 기사 인 것 같습니다. COZY 무한대 가 원하는 것을 할 수 있는지보십시오 .

— 에릭 P.
소스

고마워 Erik. 네, COZY 무한대에 어느 정도 익숙합니다. 당신이 링크하는 기사는 파워 시리즈를 사용하여 다른 함수를 계산하고 오류 등의 경계를 찾는 방법에 대한 개요에 유용합니다. 그러나 내 질문은 파워 시리즈로 모델링 할 수있는 시스템 (원형 저장 링 이외의)에 관한 것입니다. 안정성 영역을 해결하는 방법. 예를 들어 일반적인 양식 메소드가 그렇게 할 수 있다고 생각하지 않습니다. 빔 다이내믹스에 영향을 미치는 주제 였지만 문제가 해결되지는 않았습니다.

— 보아스