DG-FEM에서 수치 플럭스의 역할

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나는 Hesthaven / Warburton 책을 사용하여 DG-FEM 방법에 대한 이론을 배우고 있으며 '숫자 플럭스'의 역할에 대해 약간 혼란 스럽습니다. 이것이 기본적인 질문이라면 사과하지만, 그것에 대한 만족스러운 답변을 찾지 못했습니다.

선형 스칼라 웨이브 방정식을 고려하십시오. 선형 플럭스로 주어진다.

\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial f (u)}{\partial x} = 0

$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial f(u)}{\partial x} = 0$

f (u) = a u

$f(u) = au$

Hesthaven의 책에서 소개 된 바와 같이, 각 요소 에 대해 , 우리 는 잔차가 약하게 사라지도록 각 기본 함수에 대해 하나씩 방정식으로 끝납니다 . $k$ $N$

R_{h} (x, t) = \frac{\partial u_{h}}{\partial t} + \frac{\partial a u_{h}}{\partial x}

$R_h(x,t) = \frac{\partial u_h}{\partial t} + \frac{\partial au_h}{\partial x}$

\int_{D^{k}} R_{h} (x, t) ψ_{n} (x) d x = 0

$\int_{D^k} R_h(x,t) \psi_n(x) \, dx = 0$

좋아. 따라서 우리는 한 부분 씩 통합하여 '약한 양식'에 도달하고 (1) 두 번 통합하여 '강력한 양식'을 얻습니다 (2). 나는 Hesthaven의 일종의 과잉이지만 쉽게 일반화 된 표면 적분 형태를 1D로 채택 할 것입니다.

(1)

\int_{D^{k}} (\frac{\partial u_{h}^{k}}{\partial t} ψ_{n} - a u_{h}^{k} \frac{d ψ_{n}}{d x}) d x = - \int_{\partial D^{k}} \hat{n} \cdot (a u_{h})^{*} ψ_{n} d x 1 \leq n \leq N

$\int_{D^k} \left( \frac{\partial u_h^k}{\partial t} \psi_n-au_h^k\frac{d \psi_n}{d x} \right)\, dx = - \int_{\partial D^k} \hat{n}\cdot(au_h)^*\psi_n \,dx \qquad 1 \leq n\leq N$

(2)

\int_{D^{k}} R_{h} ψ_{n} d x = \int_{\partial D^{k}} \hat{n} \cdot (a u_{h}^{k} - (a u_{h})^{*}) ψ_{n} d x 1 \leq n \leq N

$\int_{D^k} R_h \psi_n\, dx = \int_{\partial D^k} \hat{n}\cdot \left( au_h^k-(au_h)^* \right)\psi_n \,dx \qquad 1 \leq n\leq N$

우리는 왜 수치 플럭스를 선택합니까? 왜 우리는의 값 사용하지 않는 의 경계 (1) 대신에 플럭스를 사용하여 한 번에? 그렇습니다.이 수량의 값이 여러 요소에 걸쳐 곱해질 수는 있지만 각 방정식은 1 요소 이상입니다. 왜 이것이 중요합니까? $au_h^k$ $D^k$

또한, 부품에 의해 제 2 통합의 경계 용어는 분명히 다른 수량을 산출 내게 아무 의미에서 두 번째 (2). 우리는 같은 작업을 수행하고 있습니다! 왜 두 경계 용어가 취소되지 않아서 (2) 쓸모가 없습니까? 새로운 정보를 어떻게 소개 했습니까? $au_h^k$

분명히 나는 그 방법에 중요한 것을 놓치고 있는데 이것을 고치고 싶다. 나는 실제적이고 기능적인 분석을 했으므로 공식에 관한 이론 기반의 답변이 더 있다면 알고 싶습니다!

finite-element discontinuous-galerkin

— 사용자 3482876
소스

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u

$u$

u

$u$

8

Tylers의 의견과 관련이 있지만 IMO는 더욱 중요합니다. 플럭스에는 여러 하위 문제 사이에 커플 링이 도입됩니다. 그렇지 않으면 이산적인 의미로 정보가 전파되지 않을 수 있습니다.

— Christian Waluga

3

수치 플럭스는 문제의 정보가 방정식의 특성 곡선 방향으로 진행하도록하기 위해 선택됩니다 (상향). 주석에서 언급 된 바와 같이, 각 요소에 정의 된 서브 문제를 연결하기 위해 수치 플럭스가 필요하다.

수치 플럭스의 역할에 대한 직관을 얻는 한 가지 방법은 다음과 같은 간단한 예를 고려하는 것입니다.

$a=1$

\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial x} = 0 on Ω,

$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial x} = 0 \qquad\text{on $\Omega$},$

Ω = [0, 1]

$\Omega = [0,1]$

x = 0

$x = 0$

x = 1

$x = 1$

u (0, t) = g_{D}

$u(0,t) = g_D$

g_{D}

$g_D$

$D_1 = [0,1/2]$ $D_2 = [1/2,1]$

\begin{aligned} (PDE 1): & v_{t} + v_{x} & = 0 on D_{1}, \\ (PDE 2): & w_{t} + w_{x} & = 0 on D_{2}, \end{aligned}

$\begin{align*} \text{(PDE 1):}&& \quad v_t + v_x &= 0 \quad\text{on $D_1$},\\ \text{(PDE 2):}&& \quad w_t + w_x &= 0 \quad\text{on $D_2$}, \end{align*}$

$D_1$ $D_2$

$D_1$ $v(0,t) = g_D$ $D_2$ $w(1/2,t) = v(1/2,t)$

$\psi$ $D_k$

\begin{aligned} \int_{\partial D_{1}} \hat{n} \cdot v ψ d x & = {[v ψ]}_{0}^{1 / 2} \\ \int_{\partial D_{2}} \hat{n} \cdot w ψ d x & = {[w ψ]}_{1 / 2}^{1} \end{aligned}

$\begin{align*} \int_{\partial D_1} \hat{n} \cdot v \psi \, dx &= \left[ v\psi \right]_0^{1/2}\\ \int_{\partial D_2} \hat{n} \cdot w \psi \, dx &= \left[ w\psi\right]_{1/2}^1 \\ \end{align*}$

v

$v$

w

$w$

D_{1}

$D_1$

D_{2}

$D_2$

v (0, t)

$v(0,t)$

g_{D}

$g_D$

w (1 / 2, t)

$w(1/2,t)$

v (1 / 2, t)

$v(1/2,t)$

$u_h^* = g_D$ $x = 0$ $u_h^* = v(1/2,t)$ $x=1/2$

이러한 방식으로 사물을 살펴보면 방정식의 특성 구조를 존중하는 방식으로 방정식을 결합하는 데 필요한 각 요소의 경계 조건을 약하게 적용하는 수치 자속 함수를 고려할 수 있습니다.

상수 계수 이류보다 복잡한 방정식의 경우 정보가 항상 같은 방향으로 전파되지 않을 수 있으므로 인터페이스에서 Riemann 문제 를 해결 (또는 솔루션으로 근사)하여 수치 플럭스를 결정해야합니다 . 이것은 Hesthaven의 책 2.4 절에서 선형 문제에 대해 논의됩니다.

— 윌 P.
소스

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DG 사용 여부와 상관없이 근사 품질을 향상시킬 때 PDE의 실제 솔루션으로 수렴하기 위해 대부분의 이산화 기술에 필요한 두 가지가 있습니다.

$u$
안정성 (데이터의 작은 변화로 인한 작은 변화의 결과)

각 메쉬 요소에서 부품으로 통합하는 DG 파생의 첫 단계는 (1) PDE로 시작하고 합법적 인 작업 만 적용하기 때문에 보존됩니다 (1).

그러나 이것은 당신에게 (2)를주지 않습니다. 부분적으로 공식화 된 DG 약한 형태의 행렬을 조립하고 고유 값을 살펴보면 직접 볼 수 있습니다. 시간에 따른 문제의 경우 왼쪽 절반 평면에 모두 원하지만 적절한 수치 플럭스가 없으면 어디에나있을 것입니다. 이것은 물리적 문제가 발생하지 않더라도 기하 급수적으로 폭발하는 솔루션으로 이어집니다.

$u$

요령은 점프와 평균의 조합을 취하고 체계가 여전히 일관되지만 안정된 방식으로 결합하는 것입니다. 그 후 수렴 정리는 일반적으로 드러납니다.

이것이 기본이지만, 종종 이러한 수학 요구 사항을 만족시키지 않고 보존 원리와도 잘 어울리도록 추가 플럭스를 수치 플럭스로 가져올 수도 있습니다.

— 리드 애치슨
소스

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DG 분석법에서 평가판 기능과 동일한 테스트 기능을 선택하면 최적화 문제가 발생합니다. 즉, Petrov-Galerkin 방법 대신 Galerkin을 사용하는 것입니다. L2 규범에서 요소 잔차를 최소화 할 시행 함수 진폭의 시간 도함수를 찾고 있으며 유입시 주어진 플럭스 함수를 가정하여이를 최소화합니다.

— 필립 로우
소스