불연속 Galerkin 방식의 CFL 조건

나는 다음과 같은 유형의 보존 법칙의 선형 시스템을 해결하기 위해 ADER-Discontinuous Galerkin 체계를 구현했습니다. $\partial_t U + A \partial_x U + B \partial_y U=0$CFL 조건이 매우 제한적이라는 것을 관찰했습니다. 참고 문헌에서 시간 단계의 상한$\Delta t \leq \frac{h}{d(2N+1)\lambda_{max}}$ 어디에서 찾을 수 있습니까 $h$ 셀 크기입니다. $d$ 차원의 수이며 $N$ 다항식의 최대 차수입니다.

이 문제를 피할 수있는 방법이 있습니까? WENO-ADER Finite 볼륨 구성표로 작업하고 있었고 CFL 제한이 훨씬 완화되었습니다. 예를 들어, 5 차 체계의 경우 DG를 사용할 때 0.04보다 낮은 CFL을 부과해야하지만 WEFL-ADER FV 체계에서 CFL = 0.4를 계속 사용할 수 있습니다.

예를 들어, 계산 에어로 아쿠 스틱 (선형 오일러 방정식) 또는 유사한 응용 (가스 역학, 얕은 물, 자기 유체 역학)에서 ADER-FV 대신 DG 방식을 사용하는 이유는 무엇입니까? 훨씬 낮은 시간 단계에도 불구하고 체계의 전체 계산 비용이 ADER-FV의 계산 비용과 비슷합니까?

이에 대한 생각과 제안을 환영합니다.

DG 방식의 제한적 CFL은 일반적으로 높은 정확도와 소형 스텐실의 조합에서 비롯됩니다 ( 예 : 이 참조 참조 ). CFL은 다양한 형태의 경계에 따라$L^2$도함수와 미량의 다항식에 의존하는 솔루션의 표준. Bernstein 또는 Markov 형제 불평등과 불연속 미량 불평등을 사용하여 이러한 각 수량의 경계는 상수에 반비례합니다.$h$ 그리고 이차적으로 $N$전체 CFL이 $O(h/N^2)$.

참고로, 이전에 언급 한 CFL을 보았지만 입증 된 위치를 기억할 수 없습니다. 나는 그들이 이차 의존성을 피하는 방법을 알고 싶습니다.$N$ 그들의 경계에.

유한 한 차이와 WENO 스킴 (주기적 메쉬의 B- 스플라인 기반 유한 요소 방법)은 CFL 조건이 느슨합니다. 유사 경계의 상수는 $N$. 이는 스텐실 크기가 순서에 따라 증가하는 경향이 있기 때문입니다.$N$이 문제 중 일부가 줄어 듭니다.

DG 방법은 더 비싸지 만 구조화되지 않은 메시를 쉽게 처리 할 수 ​​있으며 효율적으로 구현할 수 있습니다. 구조화되지 않은 그리드에는 WENO (또는 유사한 재구성)의 상위 버전이 있지만 추가 수학 또는 구현상의 복잡성을 유발할 수 있습니다.