고정 소수점 문제에서 비단 조적 수렴

배경

나는 액체 이론에서 Ornstein-Zernike 방정식 의 변형을 풀고 있습니다. 추상적으로, 문제는 고정 소수점 문제 을 해결하는 것으로 표현 될 수 있습니다 . 여기서 는 정수 대수 연산자이고 은 솔루션 함수 (OZ 직접 상관 함수)입니다. Picard 반복으로 해결 중입니다. 여기서 초기 시험 솔루션 하고 스킴으로 새로운 시험 솔루션을 생성합니다 . 는 와 의 혼합을 제어하는 ​​조정 가능한 매개 변수입니다$A c(r)=c(r)$$A$$c(r)$$c_0(r)$

$$c_{j+1} = \alpha (A c_j) + (1-\alpha)c_j~,$$ $\alpha$$c$$Ac$다음 시험 솔루션에 사용됩니다. 이 논의에서는 의 값 이 중요하지 않다고 가정합니다 . 반복이 원하는 허용 오차 내에 수렴 될 때까지 반복합니다 . 문제의 변형에서 는 매개 변수 에 의존하며 의 수렴 이이 매개 변수 에 어떻게 의존 하는지에 대한 질문입니다 .$\alpha$$\epsilon$ $$\Delta_{j+1} \equiv \int d\vec r |c_{j+1}(r)-c_j(r)| < \epsilon~.$$ $A$$\lambda$$Ac=c$

대한 광범위한 값의 경우 위의 반복 체계가 기하 급수적으로 빠르게 수렴됩니다. 그러나 줄이면 아래 그림과 같이 수렴이 비단 조적 인 정권에 도달합니다. $\lambda$$\lambda$

주요 질문

고정 소수점 문제에 대한 반복 솔루션에서 비단 조 수렴은 특별한 의미가 있습니까? 반복 체계가 불안정에 처해 있음을 나타내는 신호입니까? 가장 중요한 것은 , 비 모노톤 수렴으로 인해 "수렴 된"솔루션이 고정 소수점 문제에 대한 좋은 솔루션이 아니라고 의심하게됩니까?

가정하자 용액에서 알 독립 변수 , 다음 고정 소수점 방식이 지점에서 모인다 단 코비안 여기서 는 상수 입니다. 일반적으로 는 단일 지점이 아니라 반복 체계에 의해 통과 된 도메인입니다.$x$$x=f(x)$$x^*$$\frac{\partial f}{\partial x}(x^*) \le \alpha$$\alpha$$<1$$x^*$

1. 귀하의 솔루션 은 단조롭지 만 수렴하고 있습니다. Jacobian에서 다양한 값 과 솔루션 변수를 확인하여 수렴 기준 만족에서 만족스럽지 않은 것으로 이동하는지 확인하십시오.$\lambda$

2. 솔루션이 적절하게 설정된 상대 공차 내에 수렴되어 적은 수를 차지하는 경우 솔루션이 있습니다.