일반적인 Runge-Kutta 방법을 SDE로 일반화 할 수 없다는 주장을 쉽게 이해할 수 있습니까?

확률 미분 방정식 (SDE)을 푸는 방법은 다음과 같습니다.

• 정기적 인 다단계 Runge–Kutta 방법을 사용하십시오.
• 기본 위너 프로세스의 충분히 미세한 분리를 사용하십시오.
• Runge–Kutta 방법의 각 단계를 Euler–Maruyama와 유사하게 만드십시오.

이제 이것은 여러 수준에서 실패하며 이유를 이해합니다. 그러나 이제는 Runge-Kutta 방법과 확률 론적 미분 방정식에 대한 지식이 거의없는이 사실을 사람들에게 설득해야합니다. 내가 아는 모든 주장은 주어진 맥락에서 잘 소통 할 수있는 것이 아닙니다. 따라서 위의 접근 방식이 끝났다 는 쉽게 이해할 수있는 주장을 찾고 있습니다 .

확률 론적 미분 방정식을 보자 :

고차 방법의 수학이 왜 필요한지에 대한 직관적 인 이해를 이끌어내는 몇 가지 다른 주장이 있습니다. 나는 "주어진 브라운 운동 에 대해 수치 적분이 그 궤도를 얼마나 잘 해결 하는가?" 라고 말하는 것과 같은 강력한 순서로 논의 할 것입니다.$W(t)$

방정식의 규칙 성

우선, 제안 된 방법은 를 지속적으로 차별화 할 수 없다는 사실을 하지 않습니다. 실제로 Rossler의 결과를 사용하여 제안한대로 일반적인 RK 방법을 확장하면 수렴 방법이 생성되지만 순서는 0.5로만 나타납니다. 그 이유는 가 미분 가능하고 Taylor 시리즈를 갖는 미적분학을 사용하여 파생 되었기 때문 입니다. 브라운 운동이 미분은없고, 대신에 홀더 연속성 갖는다 등을$X_t$$X_t$$\alpha < 0.5$

그러나, 섭동 이론, 프로세스처럼되지 정규 충분히있는 테일러 시리즈의 측면에서 확장 아니지만, 홀더 규칙과 가 측면으로 퓌죄 급수의 측면에서 확장 할 수 있습니다 브라운 운동에 대한 즉,이 파생 상품 과 같이 확장 된 Taylor 시리즈 개념의 확장입니다 . 정규 미적분학에서와 같이 첫 번째 항은 "선형 항"입니다. 즉, 를 , 를$\alpha$$\alpha$$\frac{1}{2}$$dt$$\Delta t$$dW_t$$N(0,dt)$그리고 당신은 옳은 일을합니다. 이것이 오일러-마루야마 (Euler-Maruyama)와 같은 방법을 포함한 방법이 강한 차수 0.5로 수렴하는 이유입니다. 테일러 시리즈의 첫 번째 용어는 정확합니다. 그러나, 고차 항은 가 지속적으로 미분 될 수 사실에 대한 수정이 필요하기 때문에 일반적인 방법으로는 그렇지 않습니다.$X_t$

순시 상관과 반복 적분

그것은 빠른 휴리스틱 설명이지만 조금 더 있습니다. 몇 가지 다른 세부 사항을 살펴 보겠습니다. Taylor 계열은 파생 상품 측면에서 확장 된 것이 아니라 통합 할 고차 항으로 간주 될 수도 있습니다. 가 한 번 통합됩니다. 그러나 항 을 추가하면 단위를 올바르게 얻으려면 이중 적분을해야합니다. 는 두 번 쉽게 통합 할 수 있지만 는 무엇입니까$X_t = X_0 + \Delta t f(t,X_t)$$dt^2$$dt^2$$dW_t^i dW_t^j$? 이들은 브라운 운동 사이의 즉각적인 상관 관계입니다. 이중 적분을 계산하려면이를 알아야합니다. 평균 만보고 있다면이 값을 줄이십시오. 그러나 모든 궤도에는 미분 방정식 시스템의 서로 다른 브라운 운동 사이에 상관 관계가 있습니다. 브라운 운동 사이에 상관 관계가 없다고 가정하면 결정적 방법의 마루야마 확장을 특징 짓는 또 다른 방법이지만 시리즈의 다음 항 (1.0 항)을 얻으려면이 권리를 얻어야합니다. Milstein 수정은 이러한 상관 관계 용어를 정확하게 추가합니다. 잡음이 대각선 인 경우, 이는 자신을 제외하고는 상관 관계가 없지만 self와의 상관 관계는 인 분산 일 뿐이 므로 다음과 같이 수정해야합니다.$dt$$dW_t^2$ vs , 즉 . 비대 각 잡음이있을 때, 이러한 이중 적분은 근 사상 브라운 운동의 상관 관계를 고려하기 위해 근사되어야하며, 여기서 일반적인 근사치는 Wiktorsson 근사입니다. (이중 적분에 대해서도 분석 솔루션이 없기 때문에).$dt$$dW^2 - dt$

확산의 평균 효과

그러나 이로 인해 우리는 문제에 대한 다른 사고 방식으로 이어집니다. 순간적인 관점에서, 어떤 휴리스틱적인 의미에서 첫 번째 차수 용어, 강한 차수 1.0 또는 용어로 평균 운동이 정확해야합니까? 질문이 있습니다 : 시간 의 의 미분은 무엇 입니까? 가장 쉬운 대답은 미분을 일반적인 방법으로 정의하는 것입니다.$\mathcal{O}(\Delta t)$$g$

그러나 를 SDE의 맥락에 넣을 때 실제로는 정확하지 않습니다 . 우리 가 를 얼마나 많이 변화 지에 대한 의 도함수를 생각한다면 , 항상이 임의의 인자 곱하기 때문에 항상 같은 방향을 가리키는 것은 . 문제는이 의 평균 크기는 입니까? 확산은 평균적으로 규모로 변화 하므로 실제로 의 영향 은 더 비슷합니다$g$$g$$X_t$$dW_t$$dW_t$$\sqrt{\Delta t}$$g(t,X_t)$

를 "시간 예측 자"로 사용하면 수치 미분이이 값이어야한다는 것을보다 엄격하게 보여줄 수 있습니다 .$X_{t + \Delta t} = X_t + g(t,X_t)\sqrt{\Delta t}$

그러나 직관적으로, 이것은 가 의 궤도에 미치는 평균 효과를 이해하는 : 약 . Runge-Kutta 방법에서 시점의 내부 단계 는 값의 근사값으로 가정 되지만 확산에 대한이 빠른 물리적 휴리스틱 논쟁에서도 쉽게 확장 할 수 있습니다. Runge-Kutta 방법은 이미 평균적으로 잘못되었습니다. 약 정도 잘못되었습니다.$g$$X_t$$g(t,X_t)\sqrt{\Delta t}$$c_i$$X_{t + c_i\Delta t}$$g(t,X_t)\sqrt{c_i \Delta t}$이것은 왜 0.5의 순서가 가장 강한지를 설명하는 또 다른 방법입니다 (방법이 여전히 작동한다는 것은 놀라운 일입니다! 그러나 RK 방법의 단계의 합이 1이어야한다는 사실에 기인 할 수 있으므로이 오류는 다소 취소됩니다 밖). 흥미롭게도,이 휴리스틱 논증은 로 인한 것과 같은 고차 확률 론적 Runge-Kutta 방법이 와 정확하게 관련되어있는 수정을 가지고 있기 때문에,이 휴리스틱 논증은 상당히 깊습니다 .$g(t,X_t)\sqrt{\Delta t}$

결론

그것들은 왜 고차가 확률 미적분학을 포함해야 하는지를 이해하는 3 가지 다른 발견 적 방법입니다. 주문이 많을수록 홀더 규칙 성이 1/2이라는 사실을 고려하여 Taylor 시리즈에 추가 항이 있으며, 순간 상관을 고려해야하며, 확산 항의 평균 효과를 고려해야합니다. . 그렇지 않으면 그것들은 에는 정확하지 않으며 대신 첫 번째 항의 "선형 근사"만 만족하고 받습니다.$\mathcal{O}(\Delta t)$$\mathcal{O}(\sqrt{\Delta t})$

물론, 어떤 상황에서는 고차원적인 방법을 제공하는 적절한 일반화를 찾을 수있는 방법이 있지만, 곧 제출할 논문의 한 부분이기 때문에 이것을 매달려 스레드로 남겨 둘 것입니다. 도움이 되었기를 바랍니다.