거대한 고밀도 선형 시스템을 해결 하시겠습니까?

반복적 인 방법으로 다음 선형 시스템을 효율적으로 해결하려는 희망이 있습니까?

$A \in \mathbb{R}^{n \times n}, x \in \mathbb{R}^n, b \in \mathbb{R}^n \text{, with } n > 10^6$

$Ax=b$

와

Δ − 6 6 $A=(\Delta - K)$ 여기서 는 라플라스 연산자의 이산화로 인해 몇 개의 대각선이있는 매우 희소 행렬입니다. 그것의 주 대각선있다 하고있다 와 다른 대각선 그것에는.$\Delta$$-6$$6$$1$

R N × $K$ 는 완전히 행렬로 완전히 구성된 행렬입니다.$\mathbb{R}^{n \times n}$

풀면 가우스-시델과 같은 반복적 인 방법으로 잘 작동합니다. 이것은 대각선으로 우세한 행렬이기 때문입니다. 문제 는 많은 수의 대해 효율적으로 해결하는 것이 거의 불가능 하지만 의 구조를 악용하여 해결할 수있는 트릭이 있습니까?A = ( Δ − K ) n $A=\Delta$$A=(\Delta - K)$$n$$K$

편집 : 같은 일을 할 것

x k + $\Delta x^{k+1} = b + Kx^{k}$ // Gauss-Seidel 로 을 구합니다.$x^{k+1}$

올바른 솔루션으로 수렴 하시겠습니까? 인 경우 이러한 분할 방법이 수렴된다는 것을 읽었습니다 . 여기서 는 스펙트럼 규범입니다. 다른 작은 값에 대해 의 고유 값을 수동으로 계산했으며 음수가 매우 높은 값을 제외하고 모두 0입니다. ( 약 500 ~ ) 그래서 작동하지 않을 것 같습니다.ρ Δ - 1 K n n = $\rho(\Delta^{-1} K) < 1$$\rho$$\Delta^{-1} K$$n$$n=256$

편집 : 에 대한 자세한 내용$\Delta$ :

$\Delta \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 은 대칭이며 음의 결정적이고 대각선으로 지배적입니다.

matlab에서 다음과 같은 방식으로 생성됩니다.

n=W*H*D;

e=ones(W*H*D,1);

d=[e,e,e,-6*e,e,e,e];

delta=spdiags(d, [-W*H, -W, -1, 0, 1, W, W*H], n, n);

합리적인 데이터 구조를 사용 하는 경우 랩톱 에서는 , 수퍼 컴퓨터에서는 n ≈ 10 12로 문제를 해결할 수있는 두 가지 선택 사항이 있습니다 . 효율성을 위해서는 멀티 그리드를 사용하여 Δ 로 해결해야합니다 . 두 경우 모두 비용은 Δ로 해결하는 것보다 비용이 많이 드는 작은 요소 입니다. 두 가지 접근 방식은 Schur 보완 인수를 통해 동일하지만 구현이 다르기 때문에 별도로 설명합니다.$n>10^6$$n \approx 10^{12}$$\Delta$$\Delta$

• 경계 시스템 사용

여기서 는 모든 것으로 구성된 열 벡터이며 시스템을 해결합니다.$\ee$

반복 또는 직접 솔버 사용.

• Krylov 방법을 사용하고 행렬 를 (예 : 희소 행렬 + 순위 -1 수정)로 적용하십시오. 기존 사전 조건 자 . 또는 특히 로 직접 해결을 사용 하려면 Sherman-Morrison 공식으로 업데이트하십시오 .Δ - e e T P - 1 ≈ Δ - 1$A$$\Delta - \ee \ee^T$$P^{-1} \approx \Delta^{-1}$$\Delta$