뉴턴의 방법에 대한 매력의 분지

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비선형 방정식을 푸는 뉴턴의 방법은 시작 추측이 솔루션에 "충분히 가까이"있을 때 2 차적으로 수렴하는 것으로 알려져 있습니다.

"충분히 가까이"는 무엇입니까?

이 유역의 구조에 관한 문헌이 있습니까?

iterative-method convergence nonlinear-equations

루트는 분리되어 있어야합니다 (여러 개가 아님). Hessian이 해당 지역에서 균등하게 정의 된 경우 (위 또는 아래로 오목한 경우) 가야합니다. 물론 이러한 조건을 경험적으로 보장하거나 테스트하는 것은 일반적으로 비현실적입니다.

— hardmath

요 전날 NA-Digest에서 그 질문을보고 흥미 로웠다고 생각했습니다. 분명히 나는 유일한 사람이 아니었다 :-)

— Wolfgang Bangerth

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복잡한 영역에서 하나의 합리적인 방정식의 경우, 인력의 유역은 소위 Julia 세트의 구성 요소 인 프랙탈입니다. http://en.wikipedia.org/wiki/Julia_set . 멋진 온라인 수치에 대한 이론은
http://mathlab.mathlab.sunysb.edu/~scott/Papers/Newton/Published.pdf http://hera.ugr.es/doi/15019160.pdf를 참조 하십시오
.

$x^3-1=0$

따라서 솔루션에 "충분히 가까운"항목을 자세하게 지정하는 데는 아무런 소용이 없습니다. 만약 2 차 도함수의 경계를 안다면, Newton-Kantorovich 정리가 있는데, 이는 Newton의 방법이 수렴되는 공의 반지름에서 하한을 제공하지만, 1D를 제외하고는 비관적 인 경향이 있습니다.

간격 산술을 사용하여 계산에 유용한 범위를 얻을 수 있습니다. 예를 들어, 나의 논문
Shen Zuhe와 A. Neumaier, Krawczyk 연산자 및 Kantorovich의 정리 J. Math. 항문 Appl. 149 (1990), 437-443.
http://www.mat.univie.ac.at/~neum/scan/61.pdf

— 아놀드 노이 마이어
소스

x^{3} - 1 = 0

$x^3 - 1 = 0$

x > 0

$x > 0$

x > 1

$x > 1$

1

@hardmath : 그렇습니다. 그러나 복잡한 방정식은 두 개의 변수에서 두 개의 실제 방정식이되며, 동일한 방식이 적용됩니다.

— Arnold Neumaier

4

"충분히 가깝다"는 것은 일종의 프랙탈을 야기한다는 점을 고려하면 특성화하기 어렵다 . 라인 검색 및 트러스트 영역과 같은 세계화 전략을 사용하는 뉴턴 방법은 유인 범위를 확장합니다. 최적화에서와 같이 추가 문제 구조를 사용할 수있는 경우 수렴에 필요한 가정이 더욱 약화 될 수 있습니다.

— 제드 브라운
소스

호기심을 위해 "최적화와 같은 추가 문제 구조를 사용할 수있는 경우 수렴에 필요한 가정이 더욱 약화 될 수 있습니다"라는 예가 있습니까?

— vanCompute

@vanCompute 최적화와 관련된 예 를 보려면 이 예 를 참조하십시오 . 여기서 객체 기능은 1 차 최적 조건에서 손실 된 정보를 제공합니다. 또 다른 형태는 특정 연속성 (의사 과도, 모수, 격자 등)이 항상 수렴되지만 문제를 직접 해결하려는 경우 솔루션에 도달하기 전에 잔차를 늘려야 할 수도 있습니다.

— Jed Brown

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복잡한 다항식에 적용되는 뉴턴의 방법에 대한 유용한 결과가 있습니다.

$f$

r = \frac{η}{2 d}

$r=\frac{\eta}{2d}$

η

$\eta$

f

$f$

d

$d$

f

$f$

Anthony Manning은 Newton의 방법 (Theorem 1.2)을 사용하여 복잡한 다항식의 근을 찾는 방법에 다른 명시 적 경계를 제시합니다 .

Hubbard 등 의 Newton의 방법 으로 복잡한 다항식의 근을 찾는 방법 도 참조하십시오 .
꾸미다. 수학. 146 (2001), no. 1, 1 ~ 33. pdf

— lhf
소스

math.stackexchange.com/a/1038487/589 에서 채택되었습니다 .

— lhf