해밀턴 행렬의 행렬 지수

하자 실제, 광장, 밀도 행렬합니다. 와 는 대칭입니다. 허락하다 $A, G, Q$ $G$ $Q$

H = [\begin{matrix} ㅏ & - 지 \\ - 큐 & - ㅏ^{티} \end{matrix}]

$H = \begin{bmatrix} A & -G \\ -Q &-A^T \end{bmatrix}$

해밀턴 행렬입니다. 의 행렬 지수를 계산하고 싶습니다 . 행렬 벡터 곱뿐만 아니라 전체 행렬 지수 가 필요합니다 . Hamiltonian 행렬의 지수를 계산하는 데 사용할 수있는 특별한 알고리즘이나 라이브러리가 있습니까? $H$ $e^{tH}$

linear-algebra matrix dense-matrix

— 맥스 베어
소스

행렬 지수 자체를 원하십니까, 아니면 ODE

를 풀고 싶 습니까?

\dot{z} = H z

$\dot z = Hz$

— Daniel Shapero

행렬 지수 자체가 필요합니다. 그러나 동등하게 나는 ODE

해결할 수 있습니다 .

\dot{Z} = H Z, Z (0) = I

$\dot{Z} = H Z,\ Z(0)=I$

— 최대 Behr

고유 해석을 보존하는 Benner의 구조는 유사성 변환을 처리하여 행렬 지수 계산을 용이하게 할 수 있습니다.

— percusse

@RichardZhang 잔인한 방법은 QZ 분해입니다. 자세한 내용 은 link.springer.com/article/10.1007/s002110050315 에서 시작하는 예를 확인 하십시오.

— percusse

25 년 후에 행렬의 지수를 계산하는 19 가지 모호한 방법 논문 에서는 행렬 지수를 계산하는 많은 나쁜 (그리고 몇 가지 좋은) 방법을 다룹니다. 그것은 해밀턴 문제에만 국한된 것은 아니지만 그럼에도 불구하고 이런 종류의 문제를 해결하고 있다면 정말 가치가 있습니다.

— Daniel Shapero

답변:

매우 빠른 답변 ...

해밀턴 행렬의 지수는 상징적이며 보존하려는 속성입니다. 그렇지 않으면 단순히 비 구조적 보존 방법을 사용합니다. 실제로, 구조화 된 방법을 사용할 때 실제 속도 이점은 없으며 구조 보존 만 가능합니다.

문제를 해결하는 가능한 방법은 다음과 같습니다. 먼저 이러한 사교 매트릭스를 찾을 해밀턴이며 상 삼각 블록 및 좌측 절반 평면의 고유 값들을 가진다. 예를 들어 를 취 함으로써이 행렬을 얻습니다 . 여기서 는 와 관련된 Riccati 방정식을 풉니 다. $\hat{H}=M^{-1}HM=\begin{bmatrix} \hat{A} & -\hat{G}\\ 0 & -\hat{A}^T \end{bmatrix}$ $\hat{A}$ $\begin{bmatrix}I & 0\\ X & I\end{bmatrix}$ $X$ $H$ 의 Schur 분해를 재정렬하고 Laub 트릭을 적용하여 (즉, 단일 Schur factor 를 대체) ). 해밀턴 인이 가상 축에 고유 값을 가지고 있다면 문제를 겪을 수도 있지만, 그것은 긴 이야기이며 지금은 문제에서 발생하지 않는다고 가정합니다. $H$ $\begin{bmatrix}U_{11} & U_{12} \\ U_{21} & U_{22}\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}U_{11} & -U_{12} \\ U_{12} & U_{11}\end{bmatrix}$

사용자가 일단 사용하면이 ,하면 계산할 수 여기서, 내가 같은 생각, 특정 아프 노프 방정식을 해결 $M$ $\exp(H)=M\exp(\hat{H})M^{-1}$

특급 (\hat{H}) = [\begin{matrix} 특급 (\hat{ㅏ}) & 엑스 \\ 0 & 특급 (- {\hat{ㅏ}}^{티}) \end{matrix}],

$\exp(\hat{H}) = \begin{bmatrix} \exp(\hat{A}) & X\\ 0 & \exp(-\hat{A}^T) \end{bmatrix},$

X

$X$

(기호 틀릴 수도 부과

및 정확한 식을 얻는 블록을 확대. 이 트릭에 대한 참조는 "Schur-Parlett method"를 참조하십시오).

\hat{A} X + X {\hat{A}}^{T} = - \exp (\hat{A}) \hat{G} - \hat{G} \exp (- {\hat{A}}^{T})

$\hat{A} X + X \hat{A}^T = -\exp(\hat{A}) \hat{G} - \hat{G} \exp(-\hat{A}^T)$

\exp (\hat{H}) \hat{H} = \hat{H} \exp (\hat{H})

$\exp(\hat{H})\hat{H}=\hat{H}\exp(\hat{H})$

그런 다음 세 가지 요소가 정확히 나타납니다. 별도로 사용하십시오 : 제품을 계산하지 마십시오.이 속성을 수치 적으로 잃게됩니다.

— 페데리코 폴로 니
소스

H

$H$

\tilde{H} = [\begin{matrix} \hat{A} & - G \\ 0 & - {\hat{A}}^{T} \end{matrix}]

$\tilde{H}= \begin{bmatrix} \hat{A} & -G \\ 0 & -\hat{A}^T \end{bmatrix}$

X_{L}

$X_L$

\hat{A} X_{L} + X_{L} {\hat{A}}^{T} = - G

$\hat{A} X_L + X_L \hat{A}^T = -G$

M_{2} = [\begin{matrix} I & X_{L} \\ 0 & I \end{matrix}]

$M_2=\begin{bmatrix} I & X_L \\ 0 & I \end{bmatrix}$

\hat{H}

$\hat{H}$

\hat{\hat{H}}

$\hat{\hat{H}}$

\hat{A}

$\hat{A}$

\hat{- A^{T}}

$\hat{-A^T}$

$\mathcal H$

$A$ $G$ $Q$ $\mathcal H$ $H$ $\mathcal H$ $A$ $G$ $Q$ $A$ $G$ $Q$ 이는 밀도가 높은 구조와 압축 가능성 (커널에 따라 다름)을 설명하는 적분 방정식에서 나옵니다.

$(H-\lambda I)^{-1}$ $\mathcal H$ $\mathcal H$ $A$ $G$ $Q$

$\mathcal H$

$\mathcal{H}$

$\mathcal H$ $\mathcal H$

이 접근법의 단점 :

의 효율적인 표현에 의존 $A$ $G$ $Q$
해밀턴 구조를 이용하지 않습니다

긍정적 :

MVP 지수를 수행하는 방법이 아니라 여전히 행렬이지만 행렬 지수의 압축 표현
선형-로그 복잡성 (낮은 순위 가정이있는 경우)
라이브러리는 블록의 조옮김과 대칭을 활용할 수 있습니다

— 안톤 멘 쇼브
소스