고차 Zernike 다항식의 수치 안정성

일부 이미지의 Zernike 순간을 더 높은 순서 (예 : m=0, n=46) 로 계산하려고합니다 . 그러나 방사형 다항식에 관한 문제가 있습니다 ( wikipedia 참조 ). 간격 [0 1]에 정의 된 다항식입니다. 아래의 MATLAB 코드를 참조하십시오

function R = radial_polynomial(m,n,RHO)
    R = 0;
    for k = 0:((n-m)/2)        
        R = R + (-1).^k.*factorial(n-k) ...
            ./ ( factorial(k).*factorial((n+m)./2-k) .* factorial((n-m)./2-k) ) ...
            .*RHO.^(n-2.*k);
    end
end

그러나 이것은 분명히 근처의 수치 문제에 부딪칩니다 RHO > 0.9.

나는 그것이 polyval더 나은 비하인드 알고리즘을 가지고 있다고 생각 하기 위해 리팩토링을 시도했지만 아무것도 해결하지 못했습니다. 그것을 상징적 계산으로 변환하면 원하는 그래프가 생성되었지만 표시된 것과 같은 간단한 그래프조차도 놀랍게 느려졌습니다.

이러한 고차 다항식을 평가하는 수치 적으로 안정적인 방법이 있습니까?

에서 본 논문 , Honarvar 및 Paramesran 아주 좋은 재귀 방식으로 반경 제르 니케 다항식을 계산하는 흥미로운 방법을 도출. 재귀 수식은 큰 정수로 나누거나 곱하지 않고 놀랍도록 간단합니다.

$$R^m_n(\rho) = \rho \left(R^{|m-1|}_{n-1}(\rho)+R^{m+1}_{n-1}(\rho)\right) - R^{m}_{n-2}(\rho)$$ Honarvar와 Paramesran 논문에서 그림 1을보고 다른 Zernike 다항식 간의 종속성을 명확하게 보여줄 것을 권장합니다.

이것은 다음 Octave 스크립트에서 구현됩니다.

clear                                     % Tested with Octave instead of Matlab
N = 120;
n_r = 1000;
R = cell(N+1,N+1);
rho = [0:n_r]/n_r;
rho_x_2 = 2*[0:n_r]/n_r;

R{0+1,0+1} = ones(1,n_r+1);               % R^0_0  Unfortunately zero based cell indexing is not possible
R{1+1,1+1} = R{0+1,0+1}.*rho;             % R^1_1  ==>  R{...+1,...+1} etc.
for n = 2:N,
    if bitget(n,1) == 0,                  % n is even
        R{0+1,n+1} = -R{0+1,n-2+1}+rho_x_2.*R{1+1,n-1+1};                % R^0_n
        m_lo = 2;
        m_hi = n-2;
    else
        m_lo = 1;
        m_hi = n-1;
    end
    for m = m_lo:2:m_hi,
        R{m+1,n+1} = rho.*(R{m-1+1,n-1+1}+R{m+1+1,n-1+1})-R{m+1,n-2+1};  % R^m_n
    end
    R{n+1,n+1} = rho.*R{n-1+1,n-1+1};                                    % R^n_n
end;


Z = @(m,n,rho) (-1)^((n-m)/2) * rho.^m .* jacobiPD((n-m)/2,m,0,1-2*rho.^2);
m = 22;
n = 112;
figure
plot(rho,Z(m,n,rho))
hold on
plot(rho,R{m+1,n+1},'r');
xlabel("rho")
ylabel("R^{22}_{112}(rho)")
legend("via Jacobi","recursive");
%print -djpg plt.jpg

m = 0;
n = 46;
max_diff_m_0_n_46 = norm(Z(m,n,rho)-R{m+1,n+1},inf)

예를 들어이 코드로 생성 된 그림은 $m = 22$, $n = 112$근처에서 치명적인 취소가 발생합니다. $\rho = 0.7$Zernike 방사형 다항식은 Jacobi 다항식을 통해 계산됩니다. 따라서 저급 Zernike 다항식의 정확성에 대해서도 걱정해야합니다.

재귀 방법은 이러한 고차 Zernike 다항식을 안정적인 방식으로 계산하는 데 훨씬 더 적합한 것으로 보입니다. 그럼에도 불구하고$m = 0$ 과 $n = 46$Jacobi와 재귀 적 방법의 최대 차이는 (단지?) 1.4e-10이며 응용 프로그램에 충분히 정확할 수 있습니다.

@gammatester가 제안한 가능한 해결책은 Jacobi 다항식을 사용하는 것입니다. 이것은 '순수한'다항식 평가에 의해 큰 다항식 계수를 추가 할 때 치명적인 소거 문제를 회피합니다.

방사형 Zernike 다항식은 다음과 같이 Jacobi 다항식으로 표현할 수 있습니다 ( 식 (6) 참조 ).

$$R^m_n(\rho) = (-1)^{(n-m)/2}\rho^m \cdot P^{(m,0)}_{(n-m)/2} \Big(1-2\rho^2 \Big)$$

그러나 MATLAB에서는의 jacobiP(n,a,b,x)큰 벡터 / 행렬에 대해 사용 이 용납 될 수 없습니다 x=rho. 이 jacobiP함수는 실제로 Symbolic Toolbox의 일부이며, 다항식의 평가는 임의의 정밀도를 위해 속도를 교환하는 기호 엔진으로 연기됩니다. 따라서 Jacobi 다항식을 수동으로 구현해야합니다.

Jacobi 함수에 대한 매개 변수는 모두 음이 아니므로 ($\alpha=m$, $\beta=0$, $n^*=(n-m/2)$), 우리는 볼 (다음 식을 사용할 수 있습니다 위키 백과를 내가의 값에 작성하는 것으로,$s$)

$$\begin{multline} P_n^{(\alpha,\beta)}(\rho) = (n+\alpha)!(n+\beta)! \quad \cdot\\ \sum_{s={0}}^n \left[\frac{1}{s!(n+\alpha-s)!(\beta+s)!(n-s)!} \left(\frac{x-1}{2}\right)^{n-s}\left(\frac{x+1}{2}\right)^{s} \right]\end{multline}$$

MATLAB, 이것은 (자코비 변환에 P olice D epartment P olynomial ' D ouble'구현)

function P = jacobiPD(n,a,b,x)
    P = 0;
    for  s  0:n
        P = P + ...
            1/(factorial(s)*factorial(n+a-s)*factorial(b+s)*factorial(n-s)) * ...
            ((x-1)/2).^(n-s).*((x+1)/2).^s;
    end
    P = P*factorial(n+a) * factorial(n+b);
end

실제 방사형 Zernike 다항식은 (for m=abs(m))

Z = @(m,n,rho) (-1)^((n-m)/2) * rho.^m .* jacobiPD((n-m)/2,m,0,1-2*rho.^2);

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