LAPACK이 사용하는 이유는 무엇입니까

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LAPACK의 QR 루틴은 Q를 가정용 반사기로 저장합니다. 반사 벡터의 크기를 조정합니다 $v$ 와 $1/v_1$ 결과의 첫 번째 요소는 $1$ 저장하지 않아도됩니다. 그리고 별도 저장 $\tau$ 필요한 스케일 팩터를 포함하는 벡터. 리플렉터 매트릭스는 다음과 같습니다.

H = 나는 - τ V V^{티},

$H=I-\tau v v^T,$

어디 $v$ 정규화되지 않았습니다. 교과서에서 반사기 매트릭스는

H = 나는 - 2 V V^{티},

$H = I-2vv^T,$

여기서 는 정규화됩니다. $v$

LAPACK 이 정규화하는 대신 를 스케일하는 이유는 무엇 입니까? $v$ $1/v_1$

필요한 스토리지 (대신 동일한 , 저장되어야한다), 그 후, 적용 곱하기 할 필요가 없기 때문에, 더 빠르게 수행 될 수 로 (승산 최적화 될 수있는 교과서 버전은 단순 정규화 대신에 는 로 스케일됩니다 . $\tau$ $v_1$ $H$ $\tau$ $2$ $v$ $\sqrt 2/\|v\|$

(제 질문의 이유는 QR 및 SVD 루틴을 작성 중이며, 따라야하는지 여부에 따라이 결정의 이유를 알고 싶습니다.)

linear-algebra matrix lapack

— 게자
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이 디자인을 주도하는 것은 가정용 QR의 차단 된 변형입니다. Golub과 Van Loan의 저서 (Ch 5.2 정도)에서 개별 반사기를 형식의 랭크 -k 반사기로 누적함으로써 알고리즘의 k 반복이 어떻게 차단 될 수 있는지에 대해 이야기합니다. (여기서 와 는 모두 크기가 "키가 큰"행렬입니다 . 이 알고리즘은 gemm () 호출이 풍부하기 때문에 더 많은 작업을 수행하지만 실제로는 더 빠릅니다. 불행하게도 와 독립적 으로 나타내야하기 때문에 저장에 낭비가됩니다 . $\mathbf I + \mathbf W \mathbf Y^{\mathrm T}$ $\mathbf W$ $\mathbf Y$ $n \times k$ $\mathbf W$ $\mathbf Y$

이후의 논문 (아래 인용)에서 Van Loan은보다 효율적인 "기호화 된"데이터 구조, 즉 형식의 블록 리플렉터를 설명합니다 . 여기서 는 여전히 이지만, 를 형성하기위한 플롭 / 스토리지 요구 사항 은 작은 상부 삼각 행렬 인 를 도입함으로써 제거되었습니다 . 를 곱할 필요가 있지만 적은 양의 추가 작업이 발생하지만 이므로 일반적으로 순 이득 입니다. $\mathbf I + \mathbf Y \mathbf T \mathbf Y^{\mathrm T}$ $\mathbf Y$ $n \times k$ $\mathbf W$ $\mathbf T$ $k \times k$ $\mathbf T$ $k << n$

LAPACK 내에서, 비 차단 알고리즘은 실제로 블록 알고리즘의 제한적인 사례이며, 기호 선택에 이르기까지 ( 의 작은 버전 인 이어진다) 삼각형). $k \rightarrow 1$ $\tau$ $1\times1$ $\mathbf T$

인용 : Schreiber, Robert 및 Charles Van Loan. "가계 변환 제품에 대한 스토리지 효율적인 WY 표현." 과학 및 통계 컴퓨팅에 관한 SIAM 저널 10.1 (1989) : 53-57.

— rchilton1980
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답변 해주셔서 감사합니다! 나는 가 단지 크기 라는 것을 알지 못한다 . 인용 된 논문에서 알고리즘 5에서 는 이고 는 -2입니다. 따라서 LAPACK 버전이 아닌 교과서 버전으로 끝납니다. 내가 뭔가를 그리워합니까?

τ

$\tau$

1 \times 1

$1 \times 1$

T

$\mathbf T$

Y

$\mathbf Y$

v

$v$

T

$\mathbf T$

— geza

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당신은 저장할 필요가 없습니다 $\tau$ , 나머지 벡터에서 다시 계산할 수 있습니다. (당신은 다시 계산할 수 있습니다 $v_1$ 정규화 된 버전의 다른 항목에서도 해당 뺄셈으로 인해 계산이 불안정합니다.)

실제로, 당신은 아래 삼각형의 일부를 재사용 할 수 있습니다 $R$ 저장 $v_2,...v_n$ 인수 분해가 전체 제자리에서 계산되도록합니다. Lapack은 이러한 인플레 이스 버전의 알고리즘에 많은 관심을 기울입니다.

— 페데리코 폴로 니
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내 제안은 인텔 MKL https://software.intel.com/en-us/mkl-developer-reference-c-geqrf 설명서를 기반으로합니다 . 출력 저장소 R의 대각선 위와 위의 값처럼 보이므로 Q에 대해 더 낮은 삼각형 만 남습니다. 스케일링 계수에 추가 스토리지를 사용하는 것이 자연스러워 보입니다.

— 보 키르
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