선형 제약 조건의 절대 값

제약 조건에 절대 가치가있는 다음과 같은 최적화 문제가 있습니다.

$\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$ 과 각각 $\mathbf{f}_0, \mathbf{f}_1, \ldots, \mathbf{f}_m$크기가 열 벡터라고 하자 $n$우리는 다음을 해결하고 싶습니다 :

$$\begin{align} \min &\mathbf{f}_0^T \mathbf{x} \notag \\ \text{s.t.} &|\mathbf{f}_1^T \mathbf{x}| \leq |\mathbf{f}_2^T \mathbf{x}| \leq \ldots \leq |\mathbf{f}_m^T \mathbf{x}| \end{align}$$

가능한 공간이 볼록하지 않으며 문제를 해결하기 위해 MILP가 필요할 것입니다. 필요한 최소 이진 변수 수와 문제를 해결하는 설정을 찾고 있습니다.

불평등의 한쪽 만이 절대 값을 가질 때 절대 값을 다루는 것은 일반적으로 쉽다 (http://lpsolve.sourceforge.net/5.1/absolute.htm); 그러나이 경우는 더 복잡해 보입니다.

미리 감사드립니다.

가장 쉬운 방법은 $m$ 이진 값 을 추가 $s_i \in {0,1}$하고 해결하는 것입니다.

$$\begin{align} \min &\mathbf{f}_0^T \mathbf{x} \notag \\ \text{s.t.} & 0 \le (2s_i-1) \mathbf{f}^T_i \mathbf{x} \le (2s_{i+1}-1) \mathbf{f}^T_{i+1} \mathbf{x} & \forall i\end{align}$$

나는 (1) 실질적으로 더 빠른 것이 존재하지 않거나 (2) 볼록한 프로그램으로 재구성해야 할 특별한 트릭이 있다고 생각합니다. 아마 (1).

매끄러운 문제에 대해서는 솔버를 사용할 수 있습니다. 참조 http://www.mat.univie.ac.at/~neum/glopt/software_l.html#nonsm를