체비 쇼프 다항식을 사용한 스펙트럼 방법의 어려움

나는 종이를 이해하는 데 약간의 어려움이 있습니다. 이 논문은 스펙트럼 방식을 사용하여 결합 된 ODE 시스템에서 나오는 고유 값을 해결합니다. 내 질문의 요점에 도달하기에 충분하기 때문에 지금 방정식 하나만 작성하겠습니다.

방정식은

$V[r] = \frac{e^{-(\nu[r] +\lambda[r])}}{\epsilon[r] + p[r]} *\biggr[ (\epsilon[r] + p[r])( e^{\nu[r] +\lambda[r]})r W[r] \biggr]'$

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(수식 1) $V = \biggr[ \frac{\epsilon' +p'}{\epsilon + p} + r(\nu'+\lambda') +1 \biggr] W + r W'$

이제 논문에 따르면 체비 쇼프 다항식의 형태로 시스템의 평형 수량 ) 을 확장 할 수 있어야합니다.$(\epsilon ,p ,\nu ,\lambda$

$B[r] = \Sigma_{i=0}^{\infty}b_i T_i[y] - \frac{1}{2} b_0$ . 여기서 는 다항식입니다. Mathematica에서 작성한 코드를 사용 하여 를 얻는 방법을 알고 있습니다. 또한 이고 의 도메인 은 입니다.b를 I , Y가 = 2 ( R / R ) - (1) , R ( 0 , R $T_i[y]$$b_i$$y = 2(r/R) -1$$r$$(0,R)$

이 논문은 또한 함수 ( )가 이며 일반적으로 와 같은 용어는 다음과 같이 표현 될 수 있습니다.F [ r ] = ( $V,W$B[r]F[r$F[r] = (\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty}f_i T_i[y] - \frac{1}{2} f_0$$B[r]F[r]$

$B[r]F[r] = \frac{1}{2} (\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty} \pi_i T_i[y] - \frac{1}{2} \pi _0$

여기서 $\pi_i = \Sigma_{j=0}^{\infty}[b_{i+j} + \Theta(j-1)b_{|i-1|} ] f_l$ 및 $\Theta(k) = 0$ 을위한 $k<0$ 와 1에 해당 위해 $k\geq 0$ .

모든 것을 말하면서 다음과 같은 평형 함수를 만들어 봅시다.

$\frac{\epsilon' +p'}{\epsilon + p} = B_1[r]$ 및 $r(\nu'+\lambda') = B_2[r]$ 이면 Eq1은

(수식 2) $\bigg((\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty}v_i T_i[y] - \frac{1}{2} v_0 \bigg) = \biggr[ B_1[r] + B_2[r] +1 \biggr] \biggr( (\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty}w_i T_i[y] - \frac{1}{2} w_0 \biggr) + r W'$ .

Question1 : 나는 무엇합니까 조건? 다항식은 함수 이므로 어떻게 X 함수 [y] 와 같은 확장을 사용할 수 있습니까? 또한 방정식의 양변에서 그것들을 나눌 수있는 것처럼 보입니다. 그래서 그 용어의 도입 지점은 무엇입니까? 논문에 따르면이 용어는 이 0 에 가까워 질 때 가 0 이되는 경계 조건을 부과한다고 가정 합니다.[y]B[r]=($(\frac{r}{R})^l$$[y]$$B[r]= (\frac{r}{R})^l$$V,W$$r$

* Question2 : * 내가 처리하기로하고 방법 에서 용어입니다. 이 백서에서는 미분 용어를 처리하는 방법에 대해 설명하지만 자체 는 어떻 습니까? 평형 값처럼 취급하고 같은 항에 규칙을 사용해야합니까 아니면이 을 항으로 표현해야합니까 ? 아니면 다른 일을해야합니까?$r$$r*W'$$r$$B[r]F[r]$$r$$y$

논문을 자세히 읽지 않고 질문에 대답 할 수 있는지 확실하지 않습니다. 그러나 첫 번째 질문과 관련하여 입니다. 그리고이 요소는 모든 항을 곱하지 않기 때문에 나눌 수 없습니다.$r/R = (y+1)/2$

질문 2 :이 방정식은 에서 경계 조건을 적용하는 데 사용되므로 언급 한 용어가 사라져야한다고 생각합니다.$r=0$