전산 과학에서“둘은 쉬움, 셋은 어렵다”의 좋은 예

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나는 최근 에 메타 현상 의 공식화 에 직면했다 : " 두 개는 쉽고, 세 개는 어렵다 "(Federico Poloni에 의해 이런 식으로 표현됨).

두 개체에 대해 특정 문제가 공식화되면 비교적 쉽게 해결할 수 있습니다. 그러나, 3 개 엔터티-포 뮬레이션에 대한 알고리즘은 그 어려움을 엄청나게 증가 시키며, 심지어 솔루션을 실현 불가능하거나 달성 할 수 없게 만든다.

_{(구절을 더 아름답고 간결하며 정확하게 작성하라는 제안을 환영합니다.)}

컴퓨터 과학의 다양한 영역 (순수 선형 대수에서 시작하여 담요 용어 계산 물리학으로 끝나는)에서 어떤 좋은 예를 알고 있습니까?

— 안톤 멘 쇼브
소스

2

차원의 저주가 떠 오릅니다.

— 바울

4

그래프 2 색 ( 간단 ) 및 3 색 ( NP- 단단 )은 여기를

— GoHokies

5

@GoHokies 댓글로 답을 올리지 마십시오.

— David Richerby

4

수학 또는 재귀 배경의 기초 에서 TREE (2) = 3이고 TREE (3)은 ... 매우 큰 TREE 함수 를 사용할 수 있습니다 . (계산 과학에 익숙하지는 않지만, 이것이 실제로 당신이 찾고있는 답인지는 잘 모르겠지만, 그것에 대해 의견을 남기기에 충분히 비슷한 것 같습니다)

— BurnsBA

2

이에 대한 반대의 예 : "두 개의 크로노 미터로 바다에 가지 마십시오. 하나 나 세 개를 가져 가십시오." 즉, 좋은 예가 너무 많아서 정답이 없습니다. 이 질문은 커뮤니티 위키 여야합니다.

— David Hammen

35

물리학, 특히 고전 역학 및 양자 물리학의 여러 영역에서 나타나는 한 가지 예는 이체 문제입니다. 여기서 두 몸 문제는 중력 또는 쿨롱 힘에 의해 상호 작용하는 두 개의 상호 작용 입자의 역학을 계산하는 작업을 의미합니다. 이 문제에 대한 해결책은 종종 질량 중심 및 상대 좌표로의 변수 변환에 의해 닫힌 형태로 발견 될 수 있습니다.

그러나 3 개의 입자를 고려하자마자 일반적으로 폐쇄 형 솔루션은 존재하지 않습니다 .

— 데이비드
소스

3

나는 당신이 알고 있다고 확신하지만 귀하의 답변은 다음과 같이 진술하지 않습니다 : 3 신체 문제에 대한 폐쇄 형 솔루션이 있지만 몇 가지 특별한 경우에 대해서만

— 라마

좋은 이쑤시개, 감사합니다, "일반적으로"여기에 없습니다.

— davidhigh

3- 바디 문제는 20 세기 초 Sundman에 의해 발견 된 ( 매우 느리게 수렴되는) 시리즈 솔루션을 가지고 있으며 1990 년에 n- 바디 문제에 대해 더 약한 버전 (몸이 충돌하는 특이점을 무시 함)이 발견되었습니다.

— WorldSEnder

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유명한 예는 부울 만족도 문제 (SAT)입니다. 2-SAT는 다항식 시간으로 풀기가 쉽지 않지만 3-SAT는 NP- 완료입니다.

— 페데리코 폴로 니
소스

3

3-SAT는 3 색을 그래프로

— 나타내

8

@ GoHokies 나는 모든 np 완료 문제에 대해 사실이라고 생각 했습니까? 아니면이 두 가지에 특히 주목할만한 것이 있습니까? 이것이 바보 같은 질문이라면,이 분야에 대한 나의 지식은 기본입니다. 그러나 이것이 내가 요리 정리를 이해하는 방법입니다

— findusl

2

@findusl 당신은 완벽하게 맞습니다. 3-SAT 및 3 색을 "특별"하게 만드는 것은 OP의 2-vs-3 이분법입니다.

— GoHokies

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1 차원과 2 차원에서 모든 도로는 로마로 이어지지 만 3 차원은 아닙니다.

구체적으로, 1 차원 또는 2 차원 정수에 임의의 보행 (동일한 방향으로 이동할 가능성이 있음)이 주어지면 시작점에 관계없이 확률 1 (일명 거의 확실하게)과 상관없이 임의 보행은 결국 특정 지정에 도달합니다. 포인트 ( "로마").

그러나 3 차원 이상의 경우 "로마"에 도달 할 확률은 1보다 작습니다. 차원 수가 증가할수록 확률이 감소합니다.

예를 들어, 로마가 돌아올 때 멈추는 "로마"에서 시작하는 무작위 보행에 대한 확률 론적 (몬테카를로) 시뮬레이션을 수행하면 1 차원과 2 차원에서 결국 로마로 되돌릴 수 있습니다. 그리고 시뮬레이션을 중지-너무 쉽습니다. 3 차원에서는 결코 다시 되돌릴 수 없습니다.

https://en.wikipedia.org/wiki/Random_walk#Higher_dimensions

2 차원 사례를 시각화하기 위해 도시를 무작위로 걷는 사람을 상상할 수 있습니다. 도시는 사실상 무한하며 보도의 정사각형 격자로 배열되어 있습니다. 모든 교차로에서 사람은 4 개의 가능한 경로 중 하나를 임의로 선택합니다 (원래 여행 한 경로 포함). 공식적으로, 이것은 정수 좌표를 가진 평면의 모든 점 세트를 무작위로 걷는 것입니다.

그 사람이 산책의 원래 시작점으로 돌아갈 것입니까? 이것은 위에서 논의 된 수평 교차점 문제와 2 차원에 해당합니다. 1921 년 George Póaa는 사람이 거의 2 차원 임의 보행을한다고 증명했지만 3 차원 이상에서는 차원 수가 증가함에 따라 원점으로 돌아올 확률이 줄어 듭니다. 3 차원에서 확률은 대략 34 %로 감소합니다

숫자 값 은 http://mathworld.wolfram.com/PolyasRandomWalkConstants.html 을 참조 하십시오 .

— 마크 L. 스톤
소스

21

다음은 SciComp.SE의 기고자들의 마음에 가깝습니다.

비어 - 스톡스의 존재와 부드러움 문제

3 차원 버전은 물론 유명한 공개 문제이며 백만 달러짜리 Clay Millenium Prize의 주제입니다. 그러나 2 차원 버전은 이미 오래 전에 해결되었으며 긍정적 인 대답이 있습니다. Terry Tao 는 해결책이 1933 년 Leray의 논문으로 거슬러 올라간다고 지적 했다.

왜 3 차원 문제를 해결하기가 훨씬 더 어려울까요? 손으로하는 표준 응답은 난류가 2 차원에서보다 3 차원에서 훨씬 더 불안정 해집니다. 수학적으로 엄격한 답을 얻으 려면 Clay Institute에서 Charles Fefferman의 공식 문제 설명 또는 가능한 증거 전략에 대한 Terry Tao의 멋진 설명을 확인하십시오 .

— 리차드 장
소스

20

사회 선택 이론에서, 두 명의 후보자를 가진 선거 제도를 설계하는 것은 쉽지만 (대규모 규칙), 세 명 이상의 후보를 가진 선거 제도를 설계하려면 반드시 다양한 합리적인 조건 사이에서 균형을 유지해야합니다. ( 화살표 불가능 이론 ).

— ajd
소스

11

두 행렬 $A_1$ 과 $A_2$ 의 동시 대각선 화 :

U_{1}^{T} A_{1} V = Σ_{1}, U_{2}^{T} A_{2} V = Σ_{2}

$U_1^T A_1 V = \Sigma_1,\quad U_2^TA_2V=\Sigma_2$ 는 기존일반화 된 특이 값 분해에의해 커버됩니다.

그러나 3 개의 행렬을 표준 형식 (위에 비해 약한 조건)으로 동시에 축소해야하는 경우 :

Q^{T} A_{1} Z = \tilde{A_{1}}, Q^{T} A_{2} Z = \tilde{A_{2}}, Q^{T} A_{3} Z = \tilde{A_{3}}

$Q^T A_1 Z = \tilde{A_1},\quad Q^T A_2 Z = \tilde{A_2},\quad Q^T A_3 Z = \tilde{A_3}$ 직접적인 방법이 없습니다. 따라서 대략적인 SVD, 텐서 분해 등을 사용하여 더 복잡한 경로를 선택해야합니다.

(A_{1} + λ A_{2} + λ^{2} A_{3}) x = 0

$(A_1+\lambda A_2+\lambda^2 A_3)x=0$

출처 : CF van Loan, "강의 6 : 고차 일반화 된 특이 값 분해"CIME-EMS Summer School, Cetraro, 2015 년 6 월.

— 안톤 멘 쇼브
소스

U_{1}^{T}

$U_1^T$

U_{2}^{T}

$U_2^T$

V^{- 1}

$V^{-1}$

1

Σ

$\Sigma$

9

퀀텀 컴퓨팅에는 많은 예제가 있지만, 잠시 동안이 아니 었으므로 많은 것을 기억하지 마십시오. 하나의 주요한 것 중 하나는 이분의 얽힘 (두 시스템 사이의 얽힘)이 상대적으로 쉽지만 세 개 이상의 시스템 사이의 얽힘은 주제에 대한 백서의 논문으로 해결되지 않은 엉망입니다.

$\max\left(u_a v_b w_c T^{abc} / \left\lVert u \right\rVert \left\lVert v \right\rVert \left\lVert w \right\rVert \right)$

이 문서는 읽지 않았지만 관련이있는 것 같습니다. 대부분의 텐서 문제는 NP-hard입니다.

— 댄 스탈 케
소스

2

느낌이에 얻고있는 진짜 문제는 텐서 순위 분해 순서-1 텐서 (벡터)와 주문이 텐서 (매트릭스) 쉬운 반면 나머지 NP-어려운 것입니다처럼

— 리처드 장

그것은 그것의 일부이지만, 당신이 그것들을 분해하는 방법이 있더라도 분류 / 분류의 문제가 여전히 있습니다. 얽힘의 경우 로컬 단일 항목은 중요하지 않으므로 순서 2의 경우 남은 것은 단일 값 목록입니다 (이 맥락에서 SVD는 Schmidt 분해라고합니다). 더 높은 주문의 경우 전체 가능성의 동물원이 있습니다. 로컬 연산을 통해 어떤 상태가 다른 상태로 변환 될 수 있는지와 같은 질문은 계산이 아니라 이론적 인 관점에서 매우 어려워집니다.

— Dan Stahlke

5

직각과 나침반이있는 각도 이등분은 간단하며, 일반적으로 각도 삼각 분할이 불가능합니다.

— 데이비드
소스

4

Rank-n 유형의 유형 유추 . Rank-2에 대한 형식 유추는 특별히 어렵지 않지만 Rank-3 이상에 대한 형식 유추는 결정할 수 없습니다.

— 안드레 포포비치
소스

4

여기에는 최적화의 장점 중 하나 인 ADMM (Alternating Direction Method of Multipliers) 알고리즘이 있습니다.

두 변수 (변수 자체는 벡터 일 수 있음)와 두 변수를 결합하는 선형 구속 조건의 결합되지 않고 볼록한 목적 함수가 제공됩니다.

min f_{1} (x_{1}) + f_{2} (x_{2})

$\min f_1(x_1) + f_2(x_2)$

s . t . A_{1} x_{1} + A_{2} x_{2} = b

$s.t. \; A_1 x_1 + A_2 x_2 = b$

L_{ρ} (x_{1}, x_{2}, λ) = f_{1} (x_{1}) + f_{2} (x_{2}) + λ^{T} (A_{1} x_{1} + A_{2} x_{2} - b) + \frac{ρ}{2} | | A_{1} x_{1} + A_{2} x_{2} - b | |_{2}^{2}

$L_{\rho}(x_1, x_2, \lambda) = f_1(x_1) + f_2(x_2) + \lambda^T (A_1 x_1 + A_2 x_2 - b) + \frac{\rho}{2}|| A_1 x_1 + A_2 x_2 - b ||_2^2$

$L_{\rho}(x_1, x_2, \lambda)$ $x_1$ $x_2, \lambda$ $L_{\rho}(x_1, x_2, \lambda)$ $x_2$ $x_1, \lambda$ $\lambda$ . 이 사이클은 정지 기준에 도달 할 때까지 계속됩니다.

(참고 : Eckstein과 같은 일부 연구원은 근위 연산자를 위해 가우스-시델 분할보기를 폐기합니다 (예 : http://rutcor.rutgers.edu/pub/rrr/reports2012/32_2012.pdf 참조 )

볼록한 문제의 경우이 알고리즘은 두 변수 세트에 대해 수렴되는 것으로 입증되었습니다. 세 가지 변수에는 해당되지 않습니다. 예를 들어 최적화 문제

min f_{1} (x_{1}) + f_{2} (x_{2}) + f_{3} (x_{3})

$\min f_1(x_1) + f_2(x_2) + f_3(x_3)$

s . t . A_{1} x_{1} + A_{2} x_{2} + A_{3} x_{3} = b

$s.t. \; A_1 x_1 + A_2 x_2 + A_3x_3 = b$

$f$ $x_i$ $\lambda$

https://web.stanford.edu/~yyye/ADMM-final.pdf

— 나다니엘 크로 거
소스

3

도구없이 종이를 반으로 접는 것은 쉽습니다. 3 분의 1로 접는 것은 어렵습니다.

두 개의 근으로 다항식을 인수 분해하는 것은 쉽습니다. 세 개의 근으로 다항식을 인수 분해하는 것은 훨씬 더 복잡합니다.

— 비전 술사 루푸스
소스

3

첫 번째 예는 인용의 정신에 맞지 않습니다. 아이디어는 2를 넘으면 더 어려워 지지만 종이를 접 으면 4 번째는 절반 정도로 쉽다는 것입니다. 여기 인용문은 "짝수보다 쉽다"고 생각합니다. 두 번째 인용문은 훌륭하다고 생각합니다.

— Bill K

3

$f(x,y) = 0$ $f$

이 차이점에는 몇 가지 의미가 있습니다.

2도에는 모든 합리적인 점 (이성수의 해)을 찾는 알고리즘이 있으며, 3도에는 그러한 알고리즘이 알려져 있지 않습니다.
관련 정수 $\sqrt{f(x)}$ $f$ $f$
이산 대수 문제는 2 도의 곡선에서 다루기 쉽기 때문에 암호화 응용 프로그램에는 적합하지 않지만 타원 곡선에서 동일한 문제의 가정 된 경도는 가장 널리 사용되는 공개 키 암호화 시스템 중 일부를 기반으로합니다.

— 도 에트
소스

1

TREE기능.

우리는 계산할 수 TREE(2) = 3있지만 TREE(3), 우주 수명에서 계산할 수 는 없지만 유한 한 것만 알고 있습니다.

— Justhalf
소스

TREE(3)

n

$n$

n

$n$

맞아, 실수해서 미안해 내 진술을 수정했습니다. 감사합니다 Solomonoff!

— justhalf

1

Tree (3)에 대한 관련 numberphile 비디오 : youtube.com/watch?v=3P6DWAwwViU

— 초보자 C

1

2 차원 공간에서는 복잡한 구조를 도입하여 많은 문제 (예 : 잠재적 흐름 문제 ) 를 우아하게 해결하는 데 사용할 수 있지만 3 차원에는 아날로그가 없습니다.

— 패트릭 사난
소스

0

양자 다 물리 물리학에서, 우리는 다른 모델의 프레임 워크 (예 : Heisenberg 모델, Bose-Hubbard 모델, Ising 모델, ...)에서 n 스핀의 다른 격자를 연구합니다. 물론 그것들을 연구하기 위해 다른 수치 방법 (DMRG, 정확한 대각선 화, 신경망 등)을 가지고 있으며 우리가 다른 방법을 개발하려는 이유 중 하나는 n이 너무 "높아지면"이 모델을 해결할 수 없기 때문입니다. 더 높은 차원에서 공부하면 더 나빠집니다. 예를 들어, Ising Model의 경우 정확한 대각 화는 1d에서 20보다 크지 않은 n에 대해 잘 작동합니다. 따라서 n이 높으면 DMRG라는 다른 방법을 시도하십시오. 그러나이 후자는 실제로 n이 높을수록 잘 작동합니다 (n = 70과 같지만 n이 높을수록 잘 작동하지 않음). 다시, 당신은 더 높은 n : 신경망 (즉, 인공 지능)을위한 또 다른 방법을 원합니다. 신경망 외에도 이러한 모델을 더 높은 차원 (예 : 차원 = 3 및 작은 n의 경우)으로 "더 쉽게"(즉, 상대적으로 높은 n) 연구 할 수 있습니다. 예를 들어, 지상 상태 또는 관찰 가능 ...). Bref, 수치 방법 (컴퓨터 용량)이 n이 "너무 높아지면"새로운 방법을 수행해야하며 (가능한 경우 슈퍼 컴퓨터를 사용하는 경우), 치수와 동일한 문제입니다. 시스템은 빠르지 만 물론 더 나빠집니다 (많은 시간을 기다리지 않으면 차원 = 4를 얻기가 어렵습니다 ...). 지상 상태 또는 원하는 관측 가능 항목을 얻는 데 여전히 많은 시간 (몇 일)이 소요됩니다 ...). Bref, 수치 방법 (컴퓨터 용량)이 n이 "너무 높아지면"새로운 방법을 수행해야하고 (가능한 경우 슈퍼 컴퓨터를 사용하는 경우) 치수의 문제와 동일한 문제입니다. 시스템은 빠르지 만 물론 더 나빠집니다 (많은 시간을 기다리지 않으면 차원 = 4를 얻기가 어렵습니다 ...). 지상 상태 또는 원하는 관측 가능 항목을 얻는 데 여전히 많은 시간 (몇 일)이 소요됩니다 ...). Bref, 수치 방법 (컴퓨터 용량)이 n이 "너무 높아지면"새로운 방법을 수행해야하며 (가능한 경우 슈퍼 컴퓨터를 사용하는 경우), 치수와 동일한 문제입니다. 시스템은 빠르지 만 물론 더 나빠집니다 (많은 시간을 기다리지 않으면 차원 = 4를 얻기가 어렵습니다 ...).
물론 여기에, 당신의 질문에 대한 추가 정보가 더 있습니다. 왜냐하면 실제로 양자 다 물리학에서는 n = 3이 높지 않기 때문입니다 (그러나 하이퍼 큐브 인 격자를 취하면 n = 3을 취할 수 없습니다). 코스 (조건 때문에).

— 앨버트 비
소스

-3

현실 세계:

자동화 %-예를 들어 30 % 또는 50 % 또는 80 %로 무언가를 자동화하는 것이 쉽지만 95 % 이상으로 가기가 어렵고 100 %에 도달하는 것은 매우 어렵거나 거의 불가능합니다.

— 요엘 티
소스

2

당신은 당신의 주장에 대한 참조를 제공 할 수 있습니까?

— nicoguaro

나는 할 수 없지만 예를 들어자가 운전 차량을 살펴보십시오. 자동차를 똑바로 운전하고 속도를 제어하는 것은 보통 사람처럼 운전하는 것을 배우는 것보다 시간이 더 쉽습니다. 보다 복잡한 프로세스는 완전히 자동화되도록하려는 경우 더 많은 국경 사례가 나타납니다

— Joelty

그런 다음 귀하의 질문이이 사이트에 적합하지 않다고 생각합니다.

— nicoguaro