널 공백을 제거하기 위해 점을 고정하는 것이 왜 나쁜가요?

모든 Neumann 경계 조건을 가진 푸 아송 방정식에는 단일 상수 차원의 널 공간이 있습니다. Krylov 방법을 통해 풀 때, 매 반복마다 솔루션의 평균을 빼거나 단일 정점의 값을 고정하여 널 공간을 제거 할 수 있습니다.

단일 정점을 고정하면 단순함의 이점이 있으며 투영 당 전체적인 추가 감소를 피할 수 있습니다. 그러나 일반적으로 컨디셔닝에 미치는 영향으로 인해 불량으로 간주됩니다. 따라서 나는 항상 수단을 빼고 있습니다.

그러나 두 방법은 최대 랭크 2 보정에 의해 서로 다르므로 (1)에 따르면 거의 동일한 수의 반복 (적어도 정확한 산술)으로 수렴해야합니다. 이 추론이 맞습니까? 아니면 포인트 피닝이 잘못되었다는 추가 이유가 있습니까?

(1) : 낮은 순위 수정이 Krylov 방법 수렴에 어떤 영향을 줍니까?

귀하의 주장은 조건없는 전제 조건에 자연스럽게 적용됩니다. 고정을 권장하지 않는 이유는 규범과 전제 조건을 혼동하기 때문입니다. 일반적인 대각선 값의 크기를 알고 있으면 고정 노드에 대한 사소한 방정식을 스케일링하여 규범이 다시 합리적이되도록 할 수 있습니다.

사전 조건의 결과를 보려면 고정을 적용하는 다른 방법을 구분해야합니다. 나는 가장 인기있는 두 가지를 고려합니다.

1. "행을 제로화"하여 (행을 배율이 지정된 행과 동일하게 설정) 고정을 수행하면 Krylov 방법의 선택을 제한하고 사전 조건자를 혼동시킬 수있는 비대칭 성이 발생합니다 (예 : 대수 멀티 그리드가 불량한 집계를 선택하도록 함).
2. 해당 열도 0으로 설정되면 (오른쪽에 기여도가 "올려 진"상태), 효과가 매우 탁월합니다.

멀티 그리드의 보간 연산자는 각 수준에서 호환 가능한 방식으로 고정을 수행하도록 조정해야 할 수도 있습니다. 좋은 스케일링으로 고정을 구현하여 도입 된 복잡성을 신경 쓰지 않으면 훌륭한 접근 방식입니다. 대부분의 경우, 거의 널 공간을 제공하는 것보다 중단없는 방식으로 고정을 구현하는 것이 더 방해가되고 오류가 발생하기 쉽다는 것을 알았습니다. 원래 (단일) 행렬을 둘러 싸서 솔버 라이브러리는 제공된 널 공간이 실제로 널 공간인지 확인하여 일반적인 실수로부터 보호합니다.