쌍곡 PDE의 통합에 암시 적 방법을 사용해야하는 경우는 언제입니까?

PDE (또는 ODE)를 해결하기위한 수치 적 방법은 명시 적 방법과 암시 적 방법의 두 가지 범주로 나뉩니다. 암시 적 방법은 더 큰 안정적인 시간 간격을 허용하지만 단계 당 더 많은 작업이 필요합니다. 쌍곡 PDE의 경우 CFL 조건에서 허용하는 것보다 더 큰 시간 단계를 사용하면 결과가 매우 부정확하기 때문에 암시 적 방법은 일반적으로 보상하지 않습니다. 그러나 경우에 따라 암시 적 방법이 사용됩니다. 주어진 응용 프로그램에 대해 명시 적 또는 암시 적 방법을 사용할지 어떻게 선택해야합니까?

중심적인 질문은 어떤 물리적 프로세스 (파 또는 소스 용어)가 해결에 관심이 있고 어떤 단계를 선호 할 것인지를 결정하는 것입니다. 시스템에서 가장 빠른 시간 척도에 관심이 없으면 방정식을 "stiff"라고합니다. 쌍곡선 보존법은 일반적으로 1 차 시스템으로 작성됩니다.

$$u_t + \nabla\cdot F(u) = G(u,\nabla u,...)$$

$u$$F$$G$$F$$G$

$A = [\partial F/\partial u]$

예를 들어, 해양의 장기 진화를 시뮬레이션하는 경우 표면 중력파 (예 : 쓰나미)에 관심이 없을 수 있습니다. 불행히도, 파동 속도를 변경하면 (명시 적 방법을 사용하기 위해 속도를 늦추거나 투영을 사용할 수있는 "단단한 뚜껑"모델까지 속도를 빠르게) 소용돌이가 전파되는 방식을 변경하여 물리학을 변화시킵니다. 바다의 소용돌이는 중력파가 대류와 거의 균형을 이루는 효과이지만 그다지 좋지는 않습니다.

다른 예는 압축성 오일러, 예를 들어 데이터 센터를 통한 공기 흐름입니다. 음파 속도는 대류보다 훨씬 빠르며 열 전달에는 후자가 중요합니다. 음향에 관심이 없다면 암시 적 방법을 사용하는 것이 좋습니다.

암시 적 방법의 상대적 효율성은 명시 적 방법으로 사용할 수있는 단계 크기와 비교하여 각 단계 / 단계에서 대수 시스템을 해결하는 비용에 따라 달라집니다. 이러한 대수 시스템을 효율적으로 해결하는 것이 활발한 연구 주제입니다. (또 다른 질문을하고 여기에서 대답하고 참조 할 것입니다.)

다음과 같은 경우 암시 적 방법을 사용할 수도 있습니다.

• 방정식에는 안정성을 특성화하기 위해 직접 탐색하려는 의미있는 정상 상태가 있습니다.
• 오랜 역사와 관련된 역 / 데이터 동화 문제를 해결하고 있습니다.
• 특정 안정성 특성을 가진 매우 높은 주문 시간 통합 방법을 사용하기 위해 주문 장벽을 우회하려고합니다.
• 시공간 적응 방법을 사용하고 있습니다.
• 이미 대수 시스템을 풀어야하는 공간 이산 법을 사용하고 있습니다 (예 : 일관된 질량 행렬을 갖는 연속 유한 요소법)