솔루션의 Jacobian이 특이한 경우 Newton의 방법에 대한 전략

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변수 및 (다른 모든 상수)에 대한 다음 방정식 시스템을 풀려고합니다 . $P,x_1$ $x_2$

\frac{A (1 - P)}{2} - k_{1} x_{1} = 0 \frac{A P}{2} - k_{2} x_{2} = 0 \frac{(1 - P) (r_{1} + x_{1})^{4}}{L_{1}} - \frac{P (r_{1} + x_{2})^{4}}{L_{2}} = 0

$\frac{A(1-P)}{2}-k_1x_1=0 \\ \frac{AP}{2}-k_2x_2=0 \\ \frac{(1-P)(r_1+x_1)^4}{L_1}-\frac{P(r_1+x_2)^4}{L_2}=0$

나는 과 대한 방정식 1과 2를 각각 풀고 방정식 3으로 대체 함으로써이 방정식 시스템을 단일 변수 의 단일 방정식으로 바꿀 수 있음을 알 수 있습니다. matlab의 명령을 사용 하여 솔루션을 찾으십시오. , 및 매개 변수를 사용하면 실제 솔루션이 것으로 나타났습니다. $(P)$ $x_1$ $x_2$ fzero $k_1=k_2=1$ $r_1=r_2=0.2$ $A=2$ . $P=x_1=x_2=0.5$

그러나, 내가 사용하는 뉴턴의 방법은 원래 3 변량에 적용 - 3 식 시스템의 반복이 솔루션으로 수렴하지, 아무리 내가 진정한 솔루션으로 시작 얼마나 가까운 . $x^*=(P^*,x_1^*,x_2^*)=(0.5,0.5,0.5)$

처음에는 뉴턴 방법을 구현할 때 버그가 의심되었습니다. 여러 번 확인한 후에 버그가 발견되지 않았습니다. 그런 다음 초기 추측 사용해 보았고 lo & 보라 : Jacobian은 단수입니다. 나는 단일 자 코비안이 수렴의 순서를 줄일 수 있다는 것을 알고 있지만, 그것이 진정한 해결책에 대한 수렴을 반드시 막는 것은 아니라고 생각합니다. $x_0=x^*$

그래서 내 질문은, 진정한 해결책에서 시스템의 자 코비안이 단수라는 것을 감안할 때 :

뉴턴의 방법이 뿌리에 수렴하지 않음을 증명하기 위해 필요한 다른 조건은 무엇입니까?
세계화 전략 (예 : 라인 검색)이 단일 자코비 안에도 불구하고 수렴을 보장합니까?

optimization convergence newton-method

— 바울
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(1) : 이것은 야 코비안의 영 공간에서 야 코비안 (sic!)의 파생어의 행동에 달려있다. 실제로, 아무도 이러한 파생 상품을 계산하지 않으며 정확한 조건을 기억하지 않아도됩니다.

(2) 수렴은 선형에 불과하지만 효과가 있습니다.

초 선형 수렴을 얻으려면 (적어도 대부분의 경우) 텐서 방법을 사용할 수 있습니다. 예를 들어
https://cfwebprod.sandia.gov/cfdocs/CCIM/docs/SAND2004-1944.pdf
http://www.jstor.org/stable/10.2307/2156931 http://www.springerlink.com/을 참조 하십시오
. 색인 /X5G827367G548327.pdf

— 아놀드 노이 마이어
소스

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라인 검색 대신 Newton의 방법을 Levenberg-Marquardt 알고리즘으로 수정 해 볼 수 있습니다. Matlab을 사용하는 경우 구현이 간단합니다.

— 레오 우에이다
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