균일 한 그리드와 비 균일 그리드

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아마도 학생 수준의 질문 일 것입니다.하지만 정확하게 나에게 클리트 할 수는 없습니다. 수치 방법에 비 균일 그리드를 사용하는 것이 더 정확한 이유는 무엇입니까? 형식의 PDE에 대한 유한 차분 방법의 맥락에서 생각하고 있습니다. 그리고 시점의 솔루션에 관심이 있다고 가정하십시오 . 따라서, 예를 들어 3 점 근사법을 사용하는 균일 한 그리드에서 2 차 도함수를 근사하면 오차가 2 차 임을 알 수 있습니다. 그런 다음 매핑을 통해 비 균일 그리드를 구성하고 미분을 근사화하는 데 사용되는 세 점에 대한 계수를 찾을 수 있습니다. 테일러 확장을 수행하고 미분 값이 2 차 가되도록 바운드를 다시 얻을 수 있습니다. 여기서 $u_t(x,t)=u_{xx}(x,t)$ $x^{\ast}$ $O(h^2)$ $O(h^2)$ $h$ 는 균일하지 않은 그리드에 대한 매핑을 얻은 균일 한 그리드에서의 거리입니다. 두 추정치 모두 도함수를 포함하고 있는데 왜 오차 추정치에서 해당 도함수의 크기에 따라 비 균일 그리드에서 솔루션이 더 정확한지 명확하지 않습니까?

pde finite-difference

— 카밀
소스

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불균일 한 메시의 이론적 근거는 다음과 같습니다 (모든 방정식은 정 성적으로 이해됩니다. 즉, 일반적으로 사실이지만 모든 상황에서 모든 방정식 또는 모든 가능한 이산화에 대한 증거는 없습니다) :

유한 요소 선형 말과 식을 풀 때, 다음 대개의 오차 추정치를 종류 또는 등가이지만 더 아래에 적합한 형태 :

‖ u - u_{h} ‖_{L^{2} (Ω)} \leq C h_{max}^{2} ‖ \nabla^{2} u ‖_{L^{2} (Ω)},

$\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)} \le C h_{\text{max}}^2 \|\nabla^2 u\|_{L^2(\Omega)},$

그러나 이것은 과대 평가입니다. 실제로, 많은 인스턴스에서 한 캔 오류의 형식은 실제로 보여

여기에서

는 삼각 분할

의 세포입니다

‖ u - u_{h} ‖_{L^{2} (Ω)}^{2} \leq C h_{max}^{4} ‖ \nabla^{2} u ‖_{L^{2} (Ω)}^{2} .

$\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)}^2 \le C h_{\text{max}}^4 \|\nabla^2 u\|_{L^2(\Omega)}^2.$

‖ u - u_{h} ”_{L^{2} (Ω)}^{2} \leq 씨 \sum_{케이 \in 티} h_{케이}^{4} ” \nabla^{2} 유 ”_{엘^{2} (케이)}^{2} .

$\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)}^2 \le C \sum_{K \in {\mathbb T}} h_K^4 \|\nabla^2 u\|_{L^2(K)}^2.$

K

$K$

T

$\mathbb T$ . 이것은 오류를 작게 만들기 위해 실제로 최대 메쉬 크기

를 줄일 필요가 없음을 보여줍니다 . 오히려, 가장 효율적인 전략은 cellwise 오류 공헌 평형하는 것입니다

즉, 당신이 선택한다 -

즉, 로컬 메쉬 크기

h_{max}

$h_\text{max}$

h_{K}^{4} ‖ \nabla^{2} u ‖_{L^{2} (K)}^{2}

$h_K^4 \|\nabla^2 u\|_{L^2(K)}^2$

h_{K} \propto ‖ \nabla^{2} u ‖_{L^{2} (K)}^{- 1 / 2} .

$h_K \propto \|\nabla^2 u\|_{L^2(K)}^{-1/2}.$

는 용액이 거칠고 (미분이 크면) 크고, 용액이 매끄러 우면 커야하며, 위의 공식은이 관계에 대한 양적 척도를 제공합니다.

h_{K}

$h_K$

— 볼프강 뱅 거스
소스

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나는 이방성이 이방성 ansatz 공간 (즉, 이방성 메쉬)으로 가장 효율적으로 표현된다고 덧붙입니다. 이방성이 일부 초기 거친 메시와 정렬되지 않을 수 있기 때문에, 등방성 AMR 알고리즘은 매우 비효율적 일 수있다. 많은 방법들이 종횡비에 대해 균일하게 안정적이지 않기 때문에 이방성은 일부 추가적인 문제를 야기한다.

— Jed Brown

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이 예제를 통해 스스로 증명하십시오. 균일 한 메쉬에서 구간 별 선형 보간으로 [0,1] 간격에서 sqrt (x)를 보간 할 때 최대 오류는 무엇입니까?

n 점의 i 번째 점이 (i / n) ^ s로 주어지고 s가 신중하게 선택된 메쉬 정지 매개 변수 인 메쉬에서 보간 할 때 최대 오류는 무엇입니까?

— 롭 슈라이버
소스

h_{i}

$h_i$

h_{i}

$h_i$

4

$u_t(x,t)=u_{xx}(x,t)$ $u_t(x,t)=(D(x)u_x(x,t))_x$ . 비 균일 그리드로 실제를 나타낼 수있는 경우 $D(x)$ 보다 정확하게는보다 정확한 솔루션을 얻게됩니다. 때문에 $D(x)$ 일반적으로 재료 특성에 의해 결정되며, 각 재료 내에서 일정 할 수 있으므로 일반적으로 부분적으로 일정한 함수를 가지며 그에 따라 그리드를 실제로 정렬해야합니다.

다른 이유는 $u(x,0)$ 다른 지역보다 특정 지역에서 더 많은 변화가 있습니다. 적응 적으로 정제 된 비 균일 그리드로 이것을 약간 보상하려고 시도 할 수 있습니다. (그러나 내 의견으로는이 상황을 불균일 그리드보다 더 잘 처리 할 수있는 다른 기술이 있습니다.)

— 토마스 클림 펠
소스

예를 들어, 초기 데이터의 불연속 영역을 자세히 살펴보기 위해 사용할 다른 기술은 무엇입니까?

— Kamil

@ Kamil 나는 여기에 두 가지를 염두에두고있다. 첫 번째는 충분한 정확도로 초기 데이터를 "그리드에 사용 된 표현"으로 투영하는 것입니다. (이것은 일반적으로 점프 불연속에서 오버 샘플링 또는 간단한 분석 계산과 같은 것을 포함합니다.) 이것이 좋은 스타일이고 그것을 언급하기에는 너무 간단하다는 것을 알고 있습니다. 그러나 내 경험에 따르면 입력 데이터

— Thomas Klimpel

내가 생각하는 다른 것은 입력 데이터의 일부를 경계 조건으로 모델링하는 것입니다. 그러나 이것으로 인한 절감액은 종종 요인 2보다 적으며, 적어도 내 경험상 경계 조건이 제대로 달성하기가 어렵다는 악명이 있습니다. 그래서 나는 이것이 완벽하게하기위한 노력의 가치가 없거나 (또는 그 방향으로 문제의 해당 확장이 실제로 작거나 정말로 높은 정확도를 원한다면 노력의 가치가 있다고), 대략적으로 올바른 것을 선택한다고 말합니다. 경계 조건과 경계를 충분히 멀리 배치하면 종종 충분하게 작동합니다.

— Thomas Klimpel

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카밀 (Kamil), 미분 방정식 풀은 전체적으로 보간은 로컬입니다. 부분 다항식 보간에서 특이점에서 멀리 떨어진 정확도는 특이점에 의해 방해받지 않습니다. 불행히도, 이것은 2 점 경계 값 문제와 같은 타원 방정식을 풀기위한 것이 아닙니다. 특이점은 전 세계적으로 근사치를 오염시킵니다.

시도해 볼 것이 있습니다. 동종 Dirichlet으로 [0,1]에서 D (sqrt (x) Du)를 풉니 다 bcs D는 미분 연산자입니다. n- 포인트 균일 메시에 유한 요소 또는 유한 차이를 사용하십시오. i 번째 점이 (1 / n) ^ 1.5 인 메쉬와 비교하십시오. 균일 한 메쉬에 대한 최악의 오류는 특이점과는 거리가 멀며, 등급이 매겨진 메쉬보다 훨씬 큽니다.

— 롭 슈라이버
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