응용 프로그램에서 Bernstein 다항식을 사용할 때

"예비 다항식", "간단한 유한 차분 연산자"와 같은 예비 예비 수치 분석 방법을 사용하는 대신 Bernstein 다항식 을 사용 하여 연속 함수를 근사화하는 것이 좋습니다.

문제는 이러한 방법을 비교하는 것입니다.

Bernstein 다항식과 Lagrange 다항식은 모두 같은 공간에 걸쳐 있습니다. 따라서 가능한 기능과 관련하여 하나를 사용하여 나타낼 수있는 기능은 차이가 없습니다. 그러나 유한 요소 방법이나 보간 문제에서 이러한 함수를 기본 함수로 사용하려는 경우 생성하는 선형 연산자의 스펙트럼 속성은 기본으로 선택한 다항식에 따라 달라집니다. 이로 인해 반복 솔버의 수렴에 차이가 발생할 수 있습니다. 그러나 선형 대수 오류가 없으면 두 가지 기준을 사용하여 동일한 대답을 얻을 수 있습니다.

이것을 유한 차이 연산자와 비교하는 것은 다른 이야기입니다. 다항식을 사용하면 연속 규범에 대한 오차 근사치가 표시됩니다. 나는 유한 한 차이에 정통하지는 않지만, 이해하기 위해 선택한 위치에서만 오류 추정치를 얻을 수 있다는 것을 이해하고 있습니다. 이 지점들 사이에서 일어나는 일이 명확하지 않습니다.

배열 방법에서 Bernstein 다항식을 사용하여 ODE 및 PDE의 경계 값 문제를 해결합니다. 그들은 매우 흥미 롭습니다.

수렴은 일부 선형 BVP에 대해 지수 적이지만 Chebyshev 배열, Legendre Galerkin 및 Tau에 ​​비해 약간 느립니다.

다음은 몇 가지 체비 쇼프 스펙트럼 방법과 수렴 률을 비교 한 그림입니다. 예제 문제는 선형 BVP입니다.

$\frac{d^2u}{dx^2}-4\frac{du}{dx}+4u = e^x +C \;,\; x \in [-1,1]$

균질 한 Dirichlet BC와 C는 상수 $C=-4e/(1+e)^2$.

나는 또한이 수치를 figshare에 업로드했습니다 .

원하는 경우 내가 작성하는 코드를 확인할 수 있습니다.

http://code.google.com/p/bernstein-poly/

그리고 Bernstein 다항식 배열을 사용하여 사각형에서 타원 BVP를 푸는 것에 대해 쓴 arxiv 논문이 있습니다.

작년에 그들은 100 년의 번스타인 다항식을 축하했다 – 또 다른 흥미로운 사실.

아래의 논문은 Bernstein 형식의 다항식을 나타내는 것이 많은 경우 수치 적으로 안정적인 알고리즘으로 이어진다는 것을 보여줍니다.

RT Farouki, VT Rajan, Bernstein 형태의 다항식의 수치 조건, Computer Aided Geometric Design , Volume 4, Issue 3, 1987 년 11 월, 191-216 페이지, DOI : 10.1016 / 0167-8396 (87) 90012-4

베 지어 곡선 의 제어점 에 가깝지만 반드시 곡선에있는 것은 아닙니다. 이것은 Bernstein 다항식의 근사값과 정확히 같은 상황이며 실제로 Bernstein 다항식은 베 지어 곡선의 기초입니다. 고차의 베 지어 곡선을 사용하여 시끄러운 점에 의해 주어진 곡선을 통해 매끄러운 선을 그릴 수 있으며, 높은 계산 노력으로 인해 아무도이 작업을 수행하지 않습니다. 사실, 고차 다항식 보간법은 그러한 이유로 정확하게 사용되는 경우는 거의 없으며, Chebyshev 보간법 만 해당 규칙에서 제외되는 경우가 있습니다.

그러나 우리가 낮은 차수 다항식 보간에 대해서만 이야기한다면 제어점을 통한 베 지어 곡선의 직관적 인 사양은 다른 방법에 비해 분명한 이점입니다. 그러나 이런 점에서 NURBS는 훨씬 우수하지만 베 지어 곡선은 NURBS의 특별한 경우이며 Bernstein 다항식도 NURBS의 중요한 요소입니다.