Neumann 경계 조건을 가진 푸 아송 방정식 유한 차분 행렬 작성

유한 차분 접근법을 사용하여 푸 아송 방정식을 푸는 데 관심이 있습니다. Neumann 경계 조건으로 행렬 방정식을 작성하는 방법을 더 잘 이해하고 싶습니다. 누군가 다음을 검토 할 것입니까, 맞습니까?

유한 차분 행렬

푸 아송 방정식,

$$\frac{\partial^2u(x)}{\partial x^2} = d(x)$$

유한 차분 행렬 방정식으로 근사 할 수 있습니다.

$$\frac{1}{(\Delta x)^2} \textbf{M}\bullet \hat u = \hat d$$

여기서 은$\textbf{M}$$n \times n$ 행렬 및 U 와 D가 있는 1 × N (열) 벡터,$\hat u$$\hat d$$1 \times n$

Neumann 경계 조건 추가

Neumann 경계 조건은 경계에 알려진 자속을 적용합니다 (여기서는 경계가 왼쪽에 적용 ).$x=0$

이 경계 조건을 중심 유한 차분으로 작성

$$\frac{\partial u(x=0)}{\partial x} = \sigma$$

NB. 원래 여기에 오류가 있었고 부호 오류가 있었고 2로 나누지 않았습니다. 다음이 수정되었습니다.

$$\frac{u_2 - u_0}{2\Delta x} = \sigma$$

원래 도메인 외부의 메쉬 포인트 도입 ( )에 유의하십시오 . 이 항은 두 번째 방정식 인 u 0 − 2 u 1 + u 2 를 도입하여 제거 할 수 있습니다. $u_0$

$$\frac{u_0 - 2u_1 + u_2}{(\Delta x)^2} = d_1$$

$u_1$$u_0$

확실하지 않은 부분

$u_0$

$$u_0 = -2\sigma\Delta x + u_2 \\ u_0 = (\Delta x)^2 d_1 + 2 u_1 - u_2$$

다음으로 그들은 동일하게 설정되고 형태로 재 배열됩니다.

$$\frac{u_2 - u_1}{(\Delta x)^2} = \frac{d_1}{2} + \frac{\sigma}{\Delta x}$$

$u$$(\Delta x)^2$

마지막으로이 방정식을 행렬의 첫 번째 행으로 사용하면

마지막 생각들

1. 이 최종 행렬이 맞습니까?
2. 더 나은 접근 방식을 사용할 수 있습니까?
3. 이 매트릭스를 작성 하는 표준 방법이 있습니까?

나는 당신이 올바른 길을 가고 있다고 생각합니다. 오류를 수정하면 http://www.math.toronto.edu/mpugh/Teaching/Mat1062/notes2.pdf 와 매우 유사합니다 .

$u_0$

물러서서 잠시 문제에 대해 생각하십시오. 라플라스 방정식을 지정하면 기본적으로 각 점이 이웃의 평균임을 나타냅니다. 이것은 일반적으로 고무 시트로 시각화되며 이러한 것들에 대해 생각하는 데 도움이됩니다. (포아송은 다소 신축 점이 비슷합니다)

가장 바깥 쪽 가장자리에 솔루션 표면의 값을 지정하면 해당 지점의 공간에서 시트를 "고정"합니다. 모서리에서 미분으로 시트를 지정하면 동일한 실제 모양과 미분을 유지하면서 공간에서 시트를 변환하는 방정식을 충족하는 솔루션이 많이 있습니다.

$u_0 = 0$