완전히 닫힌 Neumann 경계 조건 (유한 경계에서 반사)으로 유한 차분에 의해 이류 방정식을 풀 때 이상한 진동

나는 대류 방정식을 풀려고 노력하고 있지만 파도가 경계에서 반사 될 때 솔루션에 이상한 진동이 나타납니다. 아무도 전에이 유물을 본 적이 있다면 원인과 그것을 피하는 방법을 알고 싶습니다!

이 애니메이션 GIF는 별도의 창에서 열어 애니메이션을 봅니다 (캐시 된 한 번에 한 번만 재생 됨).

전파가 첫 번째 경계에서 반사되기 시작할 때까지 전파가 매우 안정적으로 보입니다. 여기서 무슨 일이 일어날 수 있다고 생각하십니까? 며칠 동안 코드를 두 번 확인했지만 오류를 찾을 수 없습니다. 두 가지 전파 솔루션이있는 것 같습니다 : 하나는 긍정적이고 하나는 부정적입니다. 첫 번째 경계에서 반사 후. 솔루션은 인접한 메쉬 포인트를 따라 이동하는 것 같습니다.

구현 세부 사항은 다음과 같습니다.

이류 방정식,

$\frac{\partial u}{\partial t} = \boldsymbol{v}\frac{\partial u}{\partial x}$

여기서 는 전파 속도입니다.$\boldsymbol{v}$

크랭크-니콜슨 (Crank-Nicolson 은 가 공간에서 느리게 변할 때 (포리에 변환 될 때 저주파 성분 만 포함 경우에 이류 방정식에 대한 무조건 (pdf 링크) 안정적인 이산화입니다 .$u(x)$

내가 적용한 이산화는

$\frac{\phi_{j}^{n+1} - \phi_{j}^{n}}{\Delta t} = \boldsymbol{v} \left[ \frac{1-\beta}{2\Delta x} \left( \phi_{j+1}^{n} - \phi_{j-1}^{n} \right) + \frac{\beta}{2\Delta x} \left( \phi_{j+1}^{n+1} - \phi_{j-1}^{n+1} \right) \right]$

미지수를 오른쪽에두면 선형 형태로 쓸 수 있습니다.

$\beta r\phi_{j-1}^{n+1} + \phi_{j}^{n+1} -\beta r\phi_{j+1}^{n+1} = -(1-\beta)r\phi_{j-1}^{n} + \phi_{j}^{n} + (1-\beta)r\phi_{j+1}^{n}$

여기서 (현재와 미래 지점 사이의 시간 평균이 균일하게 가중 됨) 및 .r = v Δ $\beta=0.5$$r=\boldsymbol{v}\frac{\Delta t}{2\Delta x}$

이 방정식 세트는 행렬 형식 . 여기서,$A\cdot u^{n+1} = M\cdot u^n$

$\boldsymbol{A} = \left( \begin{matrix} 1 & -\beta r & & & 0 \\ \beta r & 1 & -\beta r & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & \beta r & 1 & -\beta r \\ 0 & & & \beta r & 1 \\ \end{matrix} \right)$

$\boldsymbol{M} = \left( \begin{matrix} 1 & (1 - \beta)r & & & 0 \\ -(1 - \beta)r & 1 & (1 - \beta)r & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & -(1 - \beta)r & 1 & (1 - \beta)r \\ 0 & & &-(1 - \beta)r & 1 \\ \end{matrix} \right)$

벡터 및 은 우리가 풀고 자하는 양에 대해 알려져 있고 알려지지 않았습니다.u n + $u^n$$u^{n+1}$

그런 다음 왼쪽과 오른쪽 경계에 닫힌 Neumann 경계 조건 을 적용 합니다. 닫힌 경계 는 두 인터페이스에서 을 의미합니다. 닫힌 경계의 경우 (여기서 작업을 보여주지 않을 것입니다) 위의 방정식을 풀면됩니다. @DavidKetcheson이 지적한 바와 같이, 위의 매트릭스 방정식은 실제로 Dirichlet 경계 조건을 설명 합니다 . Neumann 경계 조건의 경우$\frac{\partial u}{\partial x} = 0$

$\boldsymbol{A} = \left( \begin{matrix} 1 & 0 & & & 0 \\ \beta r & 1 & -\beta r & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & \beta r & 1 & -\beta r \\ 0 & & & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)$

최신 정보

이 동작은 내가 사용하는 상수의 선택과는 상당히 독립적 인 것처럼 보이지만 위의 플롯에 대한 값입니다.

• $\boldsymbol{v}$ = 2
• dx = 0.2
• dt = 0.005
• $\sigma$ = 2 (가우시안 hwhm)
• $\beta$ = 0.5

업데이트 II

0이 아닌 확산 계수 (아래 주석 참조)을 사용한 시뮬레이션 에서는 진동이 사라지지만 파동은 더 이상 반사되지 않습니다! 왜 그런지 모르겠어요?$D=1$

풀고있는 방정식은 올바른 솔루션을 허용하지 않으므로이 방정식에 대한 반사 경계 조건 과 같은 것은 없습니다 . 특성을 고려하면 오른쪽 경계에만 경계 조건을 부과 할 수 있음을 알게됩니다. 왼쪽 경계에 균일 한 Dirichlet 경계 조건을 적용하려고하는데 수학적으로 유효하지 않습니다.

다시 한번 강조 : 특성에있어서, 상기 용액 형태의 임의의 라인을 따라 일정해야 있다고 에 대한 임의의 정수 . 따라서 왼쪽 경계를 따르는 솔루션은 문제 도메인 내부의 초기 솔루션에 의해 결정됩니다. 거기에 해결책을 강요 할 수 없습니다.$x-\nu t = C$$C$

방정식과 달리 수치 체계 는 올바른 솔루션을 인정합니다. 올바른 모드는 기생 모드라고하며 매우 높은 주파수를 사용합니다. 올바른 파도는 그리드에서 표현할 수있는 가장 높은 주파수와 관련된 톱니파 패킷입니다. 그 파동은 순수하게 당신의 이산화에 의해 만들어진 수치 적 인공물입니다.

강조 하기 위해 : 해결하려는 전체 초기 경계 값 문제를 기록하지 않았습니다. 그렇게하면 수학적으로 제기 된 문제가 아니라는 것이 분명해집니다.

잘 알려지지 않은 문제를 구별 할 때 발생할 수있는 일과 기생 모드 현상에 대한 아름다운 그림이므로 여기에 게시하게되어 기쁩니다. 나에게 당신의 질문에 큰 +1.

위의 답변에서 많은 것을 배웠습니다. 문제에 대한 다른 통찰력을 제공한다고 생각하기 때문에이 답변을 포함하고 싶습니다.

일정한 파동 속도 갖는 방정식 를 생각해 보자 .

$$\begin{eqnarray} u_{xx} + \frac{1}{c} u_{tt} = 0. \end{eqnarray}$$ $c$

초기 및 경계 조건이 없으면이 방정식은 형식의 해를 갖습니다 . (오른쪽으로 움직이는 펄스)$u(x,t)=f(x-ct)$

초기 조건 부과하면 구간의 방정식 해 는 입니다. 경계가 없으며 이것이 해결책입니다.$u(x,t_0)=p(x)$$x \in (-\infty, \infty)$$p[x-c(t-t_0)]$

이제 모든 컴퓨터의 메모리가 제한된 후에 경계 도메인 정의한다고 가정하겠습니다 . 그런 다음 와 값을 지정해야합니다 . 그렇지 않으면 계산 적으로 고정됩니다.$x \in [a,b]$$a$$b$

경계 조건을 정의하는 한 가지 방법은 왼쪽 경계에 Dirichlet을 사용하고 전파되는 솔루션과 일치하는 조건을 사용하는 것입니다. 즉, (초기 시간 이라고 가정 ) $t_0$

$$\begin{eqnarray} u(a,t_0)=0 \quad , \quad u(b, t_0) = p[b-c(t-t_0)]. \end{eqnarray}$$

이것은 오른쪽 가장자리에서 사라질 때까지 오른쪽으로 흐르는 펄스를 생성합니다.

왼쪽 경계에서 디리클레의 애니메이션을 보려면 여기를 누르십시오.

여전히 이해할 수없는 소음이납니다 (누군가 도와주세요?)

다른 옵션은주기적인 경계 조건을 부과하는 것입니다. 그것은 왼쪽에 Dirichlet 경계 조건을 부과하는 대신 왼쪽 경계와 일치하는 웨이브 패킷을 부과 할 수 있습니다. 그건:

$$\begin{eqnarray} u(a,t_0)=p[a-c(t-t_0) ] \quad , \quad u(b, t_0) = p[b-c(t-t_0)]. \end{eqnarray}$$

그러나 for 및 , 간격 안에 데이터를 넣어야하므로 길이가 "기간"을 하나 더한 다음 이므로 왼쪽의 조건이 (동일!)이되고 펄스가 종료됩니다. 오른쪽에서 왼쪽으로 들어갑니다.$a-c(t-t_0) <a$$t>t_0$$c>0$$[a,b]$$b-a$$a-c(t-t_0)+b-a=a+b(t-t_0)$$u(a,t_0)=p[b-c(t-t_0]$

이 링크 는 내가 주기적 경계 조건이라고 부르는 것을 보여줍니다.

나는 파이썬으로 애니메이션을 만들었고 그 구성표는 여기 질문에 표시된 Crank-Nicholson 구성표입니다.

파도가 첫 번째 (오른쪽) 경계에 부딪힌 후에도 여전히 노이즈 패턴으로 어려움을 겪고 있습니다.