대류-확산 방정식에 적용되는 Neumann 경계 조건을 사용할 때 물리량 보존

다른 경계 조건을 적용 할 때 advection-diffusion 방정식의 다른 동작을 이해하지 못합니다. 나의 동기는 확산과 대류에서 실제 물리량 (입자 밀도)의 시뮬레이션입니다. 가장자리에서 흘러 나오지 않는 한 입자 밀도는 내부에서 보존해야합니다. 이 로직으로, 만약 같은 노이만 경계 조건을 시스템의 단부를 강제 다음 시스템이어야한다 (좌측 및 우측)에 "폐쇄" 즉 경우 플럭스 의 경계에서가 제로 다음 어떤 입자는 피할 수 없다.$\frac{\partial \phi}{\partial x}=0$

아래의 모든 시뮬레이션에 대해 크랭크-니콜슨 이산화를 대류-확산 방정식에 적용했으며 모든 시뮬레이션에는 경계 조건이 있습니다. 그러나 행렬의 첫 번째 행과 마지막 행 (경계 조건 행)의 경우 를 내부 값과 독립적으로 변경할 수 있습니다. 이를 통해 엔드 포인트가 완전히 내재 될 수 있습니다.$\frac{\partial \phi}{\partial x}=0$$\beta$

아래에서는 4 가지 구성에 대해 설명하지만 그 중 하나만 예상 한 것입니다. 마지막으로 구현에 대해 이야기합니다.

확산 만 제한

여기서 속도를 0으로 설정하면 이류 항이 꺼집니다.

모든 지점에서 $\boldsymbol{\beta}$ = 0.5 (Crank-Niscolson)의 확산 만

펄스 면적 감소에 의해 알 수있는 바와 같이 수량은 보존되지 않는다.

내부 지점에 = 0.5 (Crank-Niscolson) , 경계에 = 1 (완전한 암시)를 갖는 확산 만$\boldsymbol{\beta}$$\boldsymbol{\beta}$

경계에서 완전히 암시적인 방정식을 사용하면 입자가 빠져 나가지 않습니다 . 입자 확산으로 보전되는 영역으로 볼 수 있습니다. 경계 지점에서 선택 이 상황의 물리학에 영향을 미치는 이유 는 무엇 입니까? 이것은 버그입니까?$\beta$

확산과 대류

이류 항이 포함 된 경우 경계 의 값은 솔루션에 영향을 미치지 않는 것으로 보입니다. 그러나, 경계가 "개방"인 것처럼 보이는 모든 경우에있어서, 입자는 경계를 벗어날 수있다. 왜 그런가요?$\beta$

모든 지점에서 = 0.5 (Crank-Niscolson)을 사용한 전파 및 확산$\boldsymbol{\beta}$

내부 지점에서 = 0.5 (Crank-Niscolson) , 경계에서 = 1 (완전한 암시)를 사용한 전파 및 확산$\boldsymbol{\beta}$$\boldsymbol{\beta}$

전파 확산 방정식의 구현

advection-diffusion equation부터 시작해서

$\frac{\partial \phi}{\partial t} = D\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \boldsymbol{v}\frac{\partial \phi}{\partial x}$

Crank-Nicolson을 사용한 글쓰기는

$\frac{\phi_{j}^{n+1} - \phi_{j}^{n}}{\Delta t} = D \left[ \frac{1 - \beta}{(\Delta x)^2} \left( \phi_{j-1}^{n} - 2\phi_{j}^{n} + \phi_{j+1}^{n} \right) + \frac{\beta}{(\Delta x)^2} \left( \phi_{j-1}^{n+1} - 2\phi_{j}^{n+1} + \phi_{j+1}^{n+1} \right) \right] + \boldsymbol{v} \left[ \frac{1-\beta}{2\Delta x} \left( \phi_{j+1}^{n} - \phi_{j-1}^{n} \right) + \frac{\beta}{2\Delta x} \left( \phi_{j+1}^{n+1} - \phi_{j-1}^{n+1} \right) \right]$

참고 크랭크 - 니콜슨에 대한 = 0.5, 완전히 암시에 대한 = 1, 및, 완전히 명시 대한 = 0.β $\beta$$\beta$$\beta$

표기법을 단순화하기 위해 대체를 만들어 봅시다.

$s = D\frac{\Delta t}{(\Delta x)^2} \\ r = \boldsymbol{v}\frac{\Delta t}{2 \Delta x}$

시간 미분 의 알려진 값 을 오른쪽으로 옮기십시오 .$\phi_{j}^{n}$

$\phi_{j}^{n+1} = \phi_{j}^{n} + s \left( 1-\beta \right) \left( \phi_{j-1}^{n} - 2\phi_{j}^{n} + \phi_{j+1}^{n} \right) + s \beta \left( \phi_{j-1}^{n+1} - 2\phi_{j}^{n+1} + \phi_{j+1}^{n+1} \right) + r \left( 1 - \beta \right) \left( \phi_{j+1}^{n} - \phi_{j-1}^{n} \right) + r \beta \left( \phi_{j+1}^{n+1} - \phi_{j-1}^{n+1} \right)$

항을 고려하면$\phi$

$\underbrace{\beta(r - s)\phi_{j-1}^{n+1} + (1 + 2s\beta)\phi_{j}^{n+1} -\beta(s + r)\phi_{j+1}^{n+1}}_{\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{\phi^{n+1}}} = \underbrace{ (1-\beta)(s - r)\phi_{j-1}^{n} + (1-2s[1-\beta])\phi_{j}^{n} + (1-\beta)(s+r)\phi_{j+1}^{n}}_{\boldsymbol{M\cdot}\boldsymbol{\phi^n}}$

여기서는 과 같이 행렬 형식으로 작성할 수 있습니다 .$\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{\phi^{n+1}} = \boldsymbol{M}\cdot\boldsymbol{\phi^{n}}$

$\boldsymbol{A} = \left( \begin{matrix} 1+2s\beta & -\beta(s + r) & & 0 \\ \beta(r-s) & 1+2s\beta & -\beta (s + r) & \\ & \ddots & \ddots & \ddots \\ & \beta(r-s) & 1+2s\beta & -\beta (s + r) \\ 0 & & \beta(r-s) & 1+2s\beta \\ \end{matrix} \right)$

$\boldsymbol{M} = \left( \begin{matrix} 1-2s(1-\beta) & (1 - \beta)(s + r) & & 0 \\ (1 - \beta)(s - r) & 1-2s(1-\beta) & (1 - \beta)(s + r) & \\ & \ddots & \ddots & \ddots \\ & (1 - \beta)(s - r) & 1-2s(1-\beta) & (1 - \beta)(s + r) \\ 0 & & (1 - \beta)(s - r) & 1-2s(1-\beta) \\ \end{matrix} \right)$

Neumann 경계 조건 적용

NB는 파생을 통해 다시 작업하고 있습니다. 오류를 발견했다고 생각합니다. 경계 조건의 유한 차이를 쓸 때 완전히 암시 적 체계 ( = 1)로 가정했습니다 . 여기서 Crank-Niscolson 체계를 가정하면 복잡성이 너무 커지고 결과 방정식을 풀지 못해 도메인 외부에있는 노드를 제거 할 수 없습니다. 그러나 가능한 것처럼 보이며 두 개의 미지수를 가진 두 개의 방정식이 있지만 관리 할 수는 없습니다. 이것은 아마도 위의 첫 번째 플롯과 두 번째 플롯의 차이점을 설명합니다. 경계 점에서 = 0.5 인 플롯 만 유효하다고 결론 내릴 수 있다고 생각 합니다.$\beta$$\beta$

왼쪽의 플럭스가 알려져 있다고 가정하면 (완전히 암시적인 형태라고 가정),

$\frac{\partial\phi_1^{n+1}}{\partial x} = \sigma_L$

이것을 중심의 차이로 쓰면

$\frac{\partial\phi_1^{n+1}}{\partial x} \approx \frac{\phi_2^{n+1} - \phi_0^{n+1}}{2\Delta x} = \sigma_L$

따라서 $\phi_0^{n+1} = \phi_{2}^{n+1} - 2 \Delta x\sigma_L$

이것은 문제의 영역 밖에있는 노드를 소개합니다 . 이 노드는 두 번째 방정식을 사용하여 제거 할 수 있습니다. 노드를 다음과 같이 쓸 수 있습니다 . J=$\phi_0^{n+1}$$j=1$

$\beta(r - s)\phi_0^{n+1} + (1+2s\beta)\phi_1^{n+1} - \beta(s+r)\phi_2^{n+1} = (1-\beta)(s - r)\phi_{j-1}^{n} + (1-2s[1-\beta])\phi_{j}^{n} + (1-\beta)(s+r)\phi_{j+1}^{n}$

경계 조건에서 찾은 값을 대체 하면 = 1 행에 대해 다음 결과가 제공됩니다.$\phi_0^{n+1}$$j$

$(1+2s\beta)\phi_1^{n+1} - 2s\beta\phi_2^{n+1} = (1-\beta)(s - r)\phi_{j-1}^{n} + (1-2s[1-\beta])\phi_{j}^{n} + (1-\beta)(s+r)\phi_{j+1}^{n} + 2\beta(r-s)\Delta x\sigma_L$

최종 행에 대해 동일한 절차를 수행하면 ( = )$j$$J$

$-2s\beta\phi_{J-1}^{n+1} + (1+2s\beta)\phi_J^{n+1} = (1-\beta)(s - r)\phi_{J-1}^{n} + (1 - 2s(1-\beta))\phi_{J}^{n} + 2\beta(s+r)\Delta x\sigma_R$

마지막으로 경계 행을 암시 적으로 설정하면 ( = 1로 설정 )$\beta$

$(1+2s)\phi_1^{n+1} - 2s\phi_2^{n+1} = \phi_{j-1}^{n} + 1\phi_{j}^{n} + 2(r-s)\Delta x\sigma_L$

$-2s\phi_{J-1}^{n+1} + (1+2s)\phi_J^{n+1} = \phi_{J}^{n} + 2(s+r)\Delta x\sigma_R$

따라서 Neumann 경계 조건을 사용하여 행렬 방정식 .$\boldsymbol{A}\cdot\phi^{n+1} = \boldsymbol{M}\cdot\phi^{n} + \boldsymbol{b_N}$

어디에,

$\boldsymbol{A} = \left( \begin{matrix} 1+2s & -2s & & 0 \\ \beta(r-s) & 1+2s\beta & -\beta (s + r) & \\ & \ddots & \ddots & \ddots \\ & \beta(r-s) & 1+2s\beta & -\beta (s + r) \\ 0 & & -2s & 1+2s \\ \end{matrix} \right)$

$\boldsymbol{M} = \left( \begin{matrix} 1 & 0 & & 0 \\ (1 - \beta)(s - r) & 1-2s(1-\beta) & (1 - \beta)(s + r) & \\ & \ddots & \ddots & \ddots \\ & (1 - \beta)(s - r) & 1-2s(1-\beta) & (1 - \beta)(s + r) \\ 0 & & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)$

$\boldsymbol{b_N} = \left( \begin{matrix} 2 (r - s) \Delta x \sigma_L & 0 & \ldots & 0 & 2 (s + r) \Delta x \sigma_R \end{matrix} \right)^{T}$

나의 현재 이해

• 첫 번째 플롯과 두 번째 플롯의 차이점은 위에서 설명한 오류를 지적하여 설명합니다.

• 물리량의 보존에 관해서. 나는 원인 것을 믿고, 여기에서 지적했듯이 , 나는 파도 그냥 통과, 그래서는 반대 방향으로 전파를 허용하지 않습니다 쓴 형태로 이류 방정식 제로 플럭스 경계 조건도 . 보존에 관한 나의 초기 직감은 이류 항이 0 일 때만 적용된다 (이것은 지역이 보존 된 줄거리 2의 해답이다).

• 도 함께 노이만 제로 흐름 경계 조건 질량 여전히 시스템을 떠날 수있다이 경우에 정확한 경계 조건이기 때문에,이다 로빈 경계 조건 어느에 총 광속 지정된 . 더욱이 Neunmann 조건은 질량이 확산을 통해 영역을 벗어날 수 없다고 명시하고 있으며 , 그것은 대류 에 대해서는 아무 말도하지 않습니다. 본질적으로 우리가 듣는 것은 확산에 대한 폐쇄 경계 조건과 대류에 개방 경계 조건입니다. 자세한 내용은 답을 참조하십시오. advection-diffusion equation에서 gradient zero bound conditon 구현$\frac{\partial \phi}{\partial x} = 0$$j = D\frac{\partial \phi}{\partial x} + \boldsymbol{v}\phi = 0$.

동의하겠습니까?

• Robin 경계 조건을 구현하는 방법에 대한 튜토리얼.

나는 당신의 문제 중 하나는 (당신의 의견에서 관찰 한 바와 같이) Neumann 조건은 당신의 양의 보존을 의미하지 않는다는 의미에서 당신이 찾고있는 조건이 아니라는 것 입니다. 올바른 조건을 찾으려면 PDE를 다음과 같이 다시 작성하십시오.

$$\frac{\partial \phi}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left( D\frac{\partial \phi}{\partial x} + v \phi \right) + S(x,t) .$$

이제 기간이 괄호 안에 표시, 은 IS 총 자속 이 당신이 절약하기 위해 경계 제로에 넣어해야하는 양이다 . ( 일반성을 위해 그리고 귀하의 의견을 위해 를 추가했습니다 .) 당신이 부과해야 할 경계 조건은 다음과 같습니다 (공간 영역을 가정하면 )$D\frac{\partial \phi}{\partial x} + v \phi = 0$$\phi$$S(x,t)$$(-10,10)$

$$D\frac{\partial \phi}{\partial x}(-10) + v \phi(-10) = 0$$

왼쪽과

$$D\frac{\partial \phi}{\partial x}(10) + v \phi(10) = 0$$

오른쪽에. 이것은 소위 Robin 경계 조건입니다 (Wikipedia는 명시 적으로 이것이 확산-확산 방정식의 절연 조건이라고 말합니다).

이러한 경계 조건을 설정하면 원하는 보존 속성을 얻게됩니다. 실제로, 공간 영역에 통합하면

$$\int \frac{\partial \phi}{\partial t} dx = \int \frac{\partial}{\partial x} \left( D \frac{\partial \phi}{\partial x} + v \phi \right) dx + \int S(x,t) dx$$

오른쪽 에 부품별로 통합을 사용하면

$$\int \frac{\partial \phi}{\partial t} dx = \left( D \frac{\partial \phi}{\partial x} + v \phi \right)(10) - \left( D \frac{\partial \phi}{\partial x} + v \phi \right)(-10) + \int S(x,t) dx$$

이제 경계 조건으로 인해 두 가지 중심 용어가 사라집니다. 적시에 통합하면

$$\int_0^T \int \frac{\partial \phi}{\partial t} dx dt = \int_0^T \int S(x,t) dx dt$$

그리고 우리의 처음 두 적분을 전환 할 수있는 경우 ,

$$\int \phi(x,T) dx - \int \phi(x,0) dx = \int_0^T \int S(x,t) dx$$

이것은 도메인이 외부와 절연되어 있음을 나타냅니다. 특히 이면 가 보존 됩니다.$S=0$$\phi$