도함수를 갖는 숫자 구적법

구적법에 대한 대부분의 수치 방법은 정수를 블랙 박스 함수로 취급합니다. 더 자세한 정보가 있으면 어떻게합니까? 특히, 우리는 정수의 처음 몇 가지 파생어를 아는 것으로부터 어떤 유익을 얻을 수 있습니까? 다른 어떤 정보가 가치가 있습니까?

특히 도함수의 경우 : 기본 구적법 (사각형 / 사다리꼴 / 심슨의 규칙)에 대한 오차 추정치는 밀접한 관련이 있습니다. 동적 적응성에 의존하는 대신 샘플링 해상도를 미리 선택하는 방법이 있습니까?

나는 단 변량과 다차원적인 경우에 관심이 있습니다.

나는 이것이 당신이 생각한 것이 아니라 완전성을 위해 몇 가지 기본부터 시작합시다. Newton-Cotes 및 Gauss와 같은 대부분의 직교 공식은 함수의 적분을 대략 평가하기 위해 예를 들어 정확하게 적분 할 수있는 다항식으로 함수를 근사 할 수 있다는 아이디어를 기반으로합니다.

$$\int_a^b f(x) \,dx \approx \int_a^b \sum_j c_j p_j(x)\,dx = \sum_j c_j\int_a^b p_j(x) \,dx.$$

Newton-Cotes 및 Gauss는 Lagrange interpolation을 기반으로합니다 . 즉, 노드 (Newton-Cotes에 대해 균일하게 간격을두고 가우스에 대해 특정 의미에서 최적으로 선택됨) 노드 세트의 값을 사용하여 지정된 함수를 보간합니다 . 이 경우 이며 다항식 절점 함수 대한 적분 은 직교 가중치입니다.C J = F ( X J ) P $x_j$$c_j = f(x_j)$$p_j$

동일한 접근 방식은 Hermite 보간 , 즉 함수 값과 그 파생물을 노드 집합에서 특정 순서까지 사용하여 보간 할 때 작동합니다. 함수와 1 차 미분 값의 경우 ( 작동 방식을 보려면 Matlab 구현 이 있습니다.)

$$\int_a^b f(x) \,dx \approx \int_a^b \sum_j f(x_j) p_j(x) + f'(x_j) q_j(x)\,dx = \sum_j f(x_j) w_j+f'(x_j) \bar w_j.$$

이것은 Gauss-Legendre quadrature라고 불리는 Gauss quadrature의 변형과 관련이 있습니다. 여기서 노드는 가중치 소멸 시키기 위해 정확하게 선택 됩니다 ( 노드가 있는 Gauss quadrature 는 차수 라는 사실에 대한 또 다른 설명입니다) ). 나는 이것이 두 번째 단락에서 귀하의 질문에 적어도 부분적으로 대답한다고 생각합니다. 이러한 이유로 가우스 구적법은 허 미트 보간법 대신 일반적으로 사용됩니다. 왜냐하면 같은 수의 점으로 같은 순서를 갖지만 미분 정보는 필요하지 않기 때문입니다.N2N-$\bar w_j$$N$$2N-1$

다차원 구적법의 경우, 순서가 증가함에 따라 평가해야하는 파생 상품 (혼합 파생 상품 포함)의 수가 매우 빠르게 증가한다는 문제에 직면하게됩니다.

귀하의 질문으로 돌아 가기 : 파생 정보를 이용하는 간단한 방법은 통합 도메인의 세분화를 사용하고 모든 부서에 대해 별도의 직교를 사용하는 것입니다. 함수의 미분 값이 도메인의 일부에서 크다는 것을 알고 있다면, 더 작은 도메인 (실제로, 구적 구적법) 또는 더 높은 구적 차수를 사용하게됩니다. 이것은 유한 요소 방법에서 각각 h- 및 p-adaptivity 와 관련이 있습니다.

엔드 포인트의 파생물을 호출하는 많은 "수정 된"통합 규칙이 있습니다. 간단한 예가 수정 된 사다리꼴 규칙입니다. 적분을 근사하고 싶다고 가정 해보십시오.

$$\int_a^bf(x)\,dx.$$

하자 정수되고 H = ( B - 가 ) / N . 그런 다음 사다리꼴 규칙$n$$h=(b-a)/n$

$$T = \frac{h}{2}\bigl(f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+\cdots+2f(a+(n-1)h)+f(b)\bigr)$$

차수 오차와 함께 적분에 간단한 근사값을 제공합니다 . 그러나 "수정 된"사다리꼴 규칙 :$h^2$

$$T'=T-\frac{h^2}{12}\bigl(f'(b)-f'(a)\bigr)$$

정확도가 크게 향상됩니다. 예를 들어

$$I=\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$$

선택하십시오 . 의 정확한 값 I는 , 14 개 진수의 장소이며,$n=8$$I$

$$0.74682413281243$$

그리고 와 T ' 의 값 은$T$$T'$

$$0.7458656148457,\quad 0.74682363422375$$

각기. 오류는

$$|I-T|=9.5851796673207534 \times 10^{-4}$$

과

$$|I-T'|=4.9858868145236102 \times 10^{-7}$$

정확도가 크게 향상되었습니다. 더 높은 파생 상품을 포함하거나 다른 Newton-Cotes 규칙 또는 Gaussian 유형 규칙에서 시작하여 추가 수정 사항이 있습니다.

그렇다 뉴턴 - 코트를 기반 방법에서 지금 소위가, 다른 답변에서 언급 한 가우스-투란의 직교 합니다 (예를 들어 이 와 이 뿐만 아니라 오래된 참조 월터 고이치로). 이것은 일반적인 가우스 구적법의 일반화로, 이제 형태의 기능을 통합하는 구적 법칙을 산출하는 최적의 가로 좌표 및 가중치 집합을 찾는 데 함수의 미분에 대한 지식을 활용할 수 있습니다.$\text{polynomial}\times\text{weight function}$바로 그거죠. 예상대로이 규칙을 사용하려면 이제 임의의 실제 지점에서 함수와 그 파생물을 평가할 수 있습니다. 일반적인 장소에서 검색하면 몇 가지 참조가 더 표시 될 수 있습니다.

이 스레드는 상당히 오래되었지만 일반적인 직교 규칙의 일반화에 대해 동료 검토 논문을 참조하는 것이 유용 할 수 있다고 생각했습니다.

Nenad Ujevic, "수정 된 심슨의 규칙과 오류 범위의 일반화", ANZIAM Journal, Vol. 47, 2005.

http://journal.austms.org.au/ojs/index.php/ANZIAMJ/article/view/2/1268

나는 자유롭게 접근 할 수 있고 다른 논문들에 대한 참조가있는 좋은 참조를하는 것이 유용 할 것이라고 생각했다.

Alasdair가 위에서 언급했듯이 엔드 포인트의 파생물을 포함하여 정확도를 크게 높일 수 있습니다. 예를 들어, Ujevic과 Roberts는 Simpson 's Rule에 1 차 도함수를 추가하면 그리드 간격에서 오차가 6 차로 줄어드는 반면, 도함수가없는 경우 4 차임을 알 수 있습니다. Ujevic 논문은 더 엄격한 오류 범위를 찾을 수 있음을 보여줍니다.

N. Ujevic 및 AJ Roberts, 수정 된 직교 공식 및 응용 프로그램, ANZIAM J., 45 (E), (2004), E41–E56. http://anziamj.austms.org.au/V45/E051

(Christian Clason은 내가 제공 한 참고 문헌이 좋으며 일부 단계에서 설명을 제거하면 설명이 손실 될 수 있다고 생각했기 때문에 내가 작성한 설명을 답변으로 옮길 것을 제안했습니다.)