참조 요청 : PDE 및 ODE에 대한 엄격한 알고리즘 분석

나는 PDE와 ODE의 주제에 관한 서적 참조에 대한 제안, 특히 전문 수학자를 위해 작성된 방식으로 그러한 방법에 대한 엄격한 분석에 관심이 있습니다. 수백 또는 수천 가지의 다른 방법을 나열한다는 의미에서 매우 포괄적 일 필요는 없지만, 현대 기술을 안내하는 주요 개념의 대부분을 다루는 것에 관심이 있습니다.

나는 숫자 선형 대수학에 대한 교과서와 비슷한 것을 그리는 것이 적절하다고 생각합니다. 수치 알고리즘 의 Higham의 정확도 및 안정성은 수치 선형 대수의 안정성 및 반올림 오류 와 같은 수치 미분 방정식의 안정성 및 절단 오류에 대한 무언가를 찾고 있습니다. Van Loan의 Matrix Computations 는 선형 대수학에 대한 대부분의 주요 기술에 대해 설명합니다.

나는 실제로 수치 ODE와 PDE에 대해 거의 알지 못합니다. 나는 여러 가지 온라인 노트를 읽었으며 Randall LeVeque의 일반 및 부분 미분 방정식 에 대한 유한 차분 법 책을 가지고 있습니다 . 내가 찾고있는 수준의보다 구체적인 예로써, 타원 및 포물선 방정식에 대한 모든 섹션이 독자가 Sobolev 공간 이론 및 그 임베딩 및 PDE에 대한 약한 솔루션에 완전히 익숙하다고 가정하고 결과를 사용하기를 희망합니다 유한 요소 등에 대한 오차 추정치를 도출하는 데있어 자유로이 이론으로부터

PDE에 대한 모든 중요한 방법의 분석을 체계적으로 다루는 하나의 참조는 없습니다. PDE의 이산화 기술 분야는 위에서 언급 한 어떤 주제보다 적어도 10 배 이상 더 큽니다. 암시 적 해결과 관련된 방법의 경우 솔루션 방법 (예 : 관련 멀티 그리드 방법)을 고려하지 않고 이산 화법을 연구하는 것은 "희망적으로 비현실적인"구석에 자신을 페인트하는 시도되고 진실 된 방법입니다.

아마도 당신은 유한 요소법의 수학적 이론 인 Brenner와 Scott에 익숙 할 것입니다 . 대학원 수준의 텍스트이며 소개 문제가 있지만 중요한 결과를 신속하게 얻을 수 있습니다.

대한 사후 FEM에서 오류 분석, 좋은 소스는 검토 종이입니다 워스와 오뎅, 유한 요소 해석에서의 사후 오류 추정 , 1997 .

유한 체적 방법의 경우, Acta Numerica 페이퍼 Morton 및 Sonar, 쌍곡 보존법에 대한 유한 체적 방법 , 2007이 좋습니다. Acta Numerica 논문이 진행됨에 따라이 인용은 그리 많이 인용되지 않았습니다. 나는 그것이 LeVeque의 책이 매우 우수하고 그의 책을 사용하지 않은 대부분의 실무자들이 많은 원본 출처에 익숙하기 때문에 부분적으로 의심합니다. 나는 그것에 익숙하지 않지만 하이퍼 볼릭 보존법에 대한 유한 체적 방법의 비선형 안정성 인 Bouchut 도 볼 수 있습니다 .

나는 이산화와 동시에 솔버를 고려하는 것이 중요하다는 것에 대해 Jed의 두 번째 요점을 지적했다. 이것은 "순수한"수학자들이 때때로 잘못된 문제를 해결 함에 따라 해를 끼치 지 못하는 것입니다 . 블록 구조, 희소성 패턴 및 전제 조건을 구축하는 기능과 같은 것은 자유도 / 메시 크기와 같은 단순한 것보다 훨씬 중요한 경향이 있습니다.

Brezzi & Fortin- "혼합 및 유한 유한 요소법" 은 Brenner 및 Scott을 보완하는 재료를 다룹니다. 그것은 인쇄물이 아니며 사람들은 실제로 사본에 매달 리므로 수백 달러를 지불하고 싶지 않다면 도서관에서 빌려야 할 것입니다.

2000 년 초반 Rannacher 등의 논문은 "유한 요소 방법 의 후손 오류 추정에 대한 최적의 제어 접근 방법" 으로 Ainsworth 및 Oden 's에 설명 된 것보다 후손 오류 추정에 대한 깊고보다 폭넓게 적용 가능한 이해를 제공합니다. 책 (내 의견으로는).

소볼 레프 공간은 PDE를위한 종합적인 기능 공간은 아니지만, 에반스와 같은 입문용 대학원 서적을 읽을 수 있습니다. Besov 공간은보다 일반적이고 매우 훌륭하며, 기본 빌딩 블록을 제어하여 진동, 통합 성 및 멀티 스케일 구조에 대한 제약 조건을 제공함으로써 특정 기능 공간이 구성되는 방법과 이유에 대해 생각하도록합니다. 기능 공간의 주제에 관한 훌륭한 "철학적"기사는 Terry Tao의 글 입니다. Triebel의 저서 (주로 Besov 공간에 관한), "기능 공간 이론 II" 는 훌륭합니다! Besov 공간과 웨이블릿 사이에는 깊은 연결이 있으므로 웨이블릿에 대한 DeVore의 매우 읽기 쉬운 기사 가 유용합니다.

제드의 훌륭한 권고 (Brenner + Scott를 훌륭한 인트로 유한 요소 책으로 개인적으로 보증 할 수 있음) 외에도 ODE의 수치 솔루션에 대한 훌륭한 책은 Butcher입니다.

http://books.google.com/books/about/Numerical_Methods_for_Ordinary_Different.html?id=opd2NkBmMxsC

그것은 나의 대학 도서관이 리콜 할 때까지 좋은 동안 나의 성경이었다.

또한 섬세한 수학에 이미 익숙하다면 Ern + Guermond가 귀중한 책이 될 수도 있습니다.

http://books.google.com/books/about/Theory_and_Practice_of_Finite_Elements.html?id=CCjm79FbJbcC

Ern + Guermond의 몇 가지 논문을 읽은 후에는 분명히 무거운 형식주의에 의존한다고 말할 수 있습니다. 이 챕터는 정의를 얻기 위해 뒤집어 야 할 수도있는 다소 독립적 인 모듈로 표기법입니다.

PDE의 경우 Ern 및 Guermond와 유사한 기능 분석 풍미를 가진 책은 다음과 같습니다. D. Braess, Finite Elements , Cambridge University Press, 2007 입니다. 연구 논문이 아닌 교과서이기 때문에 덜 포괄적이지만 접근하기 쉽습니다. 반면에, 응용 (주로 탄력성)에 대해서도 설명합니다.

ODE와 관련하여, 나는 여전히 성경이 Hairer와 Wanner의 세 권으로 된 작품이라고 믿는다 ( ODE 해결 I , 미분 방정식 II 해결 과 기하학적 수치 통합 ).

마지막으로, 인터넷에서 사용할 수있는 훌륭한 강의 노트를 간과하지 마십시오.