블록 구조가없는 무한 시스템에 대한 반복 방법

부정확 한 행렬 시스템은 예를 들어 혼합 유한 요소에 의한 안 장점 문제의 이산화에서 나타납니다. 그런 다음 시스템 매트릭스를 다음 형식으로 넣을 수 있습니다.

어디 $A$ 음수 (반)-정확한 $C$ 양수 (반) 정도이며 $B$임의적입니다. 물론, 컨벤션에 따라 한정 조건을 사용할 수도 있지만 이것은 그 행렬의 구조와 거의 같습니다.

이러한 방법들에 대해, Uzawa의 방법이 사용될 수 있는데, 이는 실제로 시스템을 컨쥬 게이트 그라디언트 (Conjugate Gradient), 그라디언트 디센트 (Gradient Descent) 등에 의해 해결 될 수있는 동등한 반정의 시스템으로 변환하기위한 "트릭"일 수있다.

나는 그러한 블록 구조가없는 무기한 시스템에 직면 해 있습니다. 이 경우 Uzawa 유형 방법은 적용되지 않습니다. Paige & Saunders가 도입 한 Minimal Residual method (MINRES)를 알고 있습니다. Paige & Saunders는 3 기 재귀이며 구현하기 쉬운 것 같습니다.

질문 : 일반적으로 MINRES는 프로토 타이핑에 적합한 선택입니까? 실질적인 관련성이 있습니까? 전제 조건은 현재 중요한 문제가 아닙니다.

사전 조건에 대해 걱정하지 않으면 MINRES가 표준 선택입니다. 그러나 MINRES에는 대칭 양의 명확한 사전 조건이 필요합니다.

사전 조건에 관심이있는 경우 대부분의 새들 포인트 문제와 일반적인 무기한 문제 사이의 구조적 차이를 고려하는 것이 중요합니다. 대부분의 새들 포인트 문제는 라그랑주 승수에 의해 시행되는 제약 조건으로 타원 문제를 해결할 때 발생합니다. 비압축성 및 접촉 제한이 일반적인 예입니다. 이러한 문제의 경우, 운영자는 제약 조건이 충족되는 부분 공간에 대해 강제적 인 영향을 미치며 그린의 기능은 빠르게 부패합니다. 이러한 문제는 블록 사전 조정기 (사전 조정 된 Uzawa가이 제품군의 구성원 임), 호환 가능한 스무더가있는 멀티 그리드 (예 : Vanka 또는 블록 분해 기반) 또는 적절한 로컬 및 거친 문제가있는 다단계 도메인 분해를 사용하여 효율적으로 해결할 수 있습니다.

안 장점 문제가 아닌 무한 문제의 프로토 타입 예제는 Helmholtz 방정식입니다.

어디 $a(x)$양의 상수에 의해 위와 ​​아래로 균일하게 경계가 설정됩니다. 에 대한$k$크게, Green의 기능은 진동이 높기 때문에 사전 조건 (및 이산화)이 어렵습니다. 이 질문 에 대한 답변에서 설명한 것처럼 두 가지 합리적인 접근 방식은 완벽하게 일치하는 레이어와 "웨이브-레이 멀티 그리드"를 기반으로하는 전제 조건을 스위핑하는 것 입니다. 불행히도, 이러한 방법은 특정 방정식과 기술적으로 구현하기 위해 다소 관습 적입니다.

관심을 가질만한 관련 질문 은 희소 선형 시스템 솔버를 선택할 때 따라야 할 지침 은 무엇입니까? 이 경우 반복 방법에만 관심이 있습니다. 반복적 인 방법에 대한 나의 이해는 주어진 방법에 대한 수렴이 행렬의 스펙트럼에 크게 의존한다는 것입니다. Uzawa의 방법을 사용할 수는 없지만 GMRES, Biconjugate 안정화 그라디언트, MINRES, 준 최소 잔차 방법 및 무한 행렬에 적용되는 다른 반복 방법을 계속 사용할 수 있습니다.

다양한 방법을 코딩 해야하는 경우 다양한 반복 선형 솔버를 구현하는 PETSc 와 같은 라이브러리를 사용하여 알고리즘에서 솔버를 호출 할 수 있습니다.

이러한 유형의 문제에는 MINRES가 최선의 선택입니다.