대칭이없는 행렬과 비교하여 대칭 행렬을 푸는 데 수치적인 이점이 있습니까?

3 개의 연립 방정식에 유한 차분 법을 적용하고 있습니다. 두 방정식은 결합되지 않지만 세 번째 방정식은 다른 두 방정식에 모두 연결됩니다. 방정식의 순서를 에서 로 바꾸면 계수 행렬이 대칭이된다는 것을 알았습니다 .$(x, y, z)$$(x, z, y)$

이렇게하면 어떤 이점이 있습니까? 예를 들어, 솔루션의 안정성 또는 효율성 / 속도 측면에서. 행렬은 매우 드문 편입니다. 중요한 경우 0이 아닌 항은 중앙 대각선을 따라 있습니다.

물론!

우선, 일부 선형 대수 시스템은 행렬의 절반 만 저장할 수있을 정도로 똑똑하므로 많은 메모리를 절약 할 수 있습니다. 그러나 이것이 사실이 아니더라도 수치 선형 대수학의 다양한 알고리즘은 대칭을 이용합니다.

예를 들어, 대칭 행렬이 주어지면, 모든 고유 값은 모든 고유 값이 실제 값이라는 것을 즉시 알게 될 것이며, 솔루션 방법이 그 사실을 사용할 수 있습니다.

많은 사람들이 생각할 일반적인 것은 방정식 시스템의 솔루션을위한 Krylov 부분 공간 방법입니다 : 문제가 대칭 인 경우 GMRES와 같은 비대칭 문제에 대한 방법이 필요하지 않으며 더 적은 부분에있을 수 있음을 알고 있습니다 MINRES와 같이 메모리를 많이 사용하거나 행렬이 양의 경우 CG입니다. Krylov 방법의 수렴 동작은 순열의 영향을받지 않으므로 변경되지 않은 시스템에 대칭 방법을 사용할 수도 있습니다.$Ax=b$

다른 예는 매트릭스 를 하부 삼각 부분 및 상부 삼각 부분 인수 분해하는 것 입니다. 경우 다음 대칭 , 당신은 단지 하나 개의 요인 (저장해야 콜레 분해 ).$A=LU$$L$$U$$A$$A=LL^T$