Crank-Nicolson 이산화에 의해 열 방정식의 최대 / 최소 원리가 유지됩니까?

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Crank-Nicolson 유한 차분 법을 사용하여 1D 열 방정식을 풀고 있습니다. 열 방정식의 최대 / 최소 원칙 (즉, 최대 / 최소가 초기 조건에서 또는 경계에서 발생 함)이 이산화 된 솔루션을 유지하는지 궁금합니다.

이것은 아마도 크랭크-니콜슨이 안정적이고 수렴적인 계획이라는 사실에 의해 암시 될 것입니다. 그러나 Crank-Nicolson 스텐실에서 생성 된 행렬을 사용하여 선형 대수 인수를 통해 직접 이것을 입증 할 수있는 것 같습니다.

이것에 관한 문헌에 대한 조언을 부탁드립니다. 감사.

— foobarbaz
소스

안녕하세요 foobarbaz, scicomp에 오신 것을 환영합니다! 해결하려는 문제에 소스 용어가 없다고 가정합니다. 맞습니까?

— Paul

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크랭크-니콜슨의 최대 원리는 시간 단계에 대한및 격자 간격. 일반적으로형식의스킴을 고려할 수 있습니다

μ ≐ \frac{k}{h^{2}} \leq 1

$\mu \doteq \frac{k}{h^2} \leq 1$

k

$k$

h

$h$

θ

$\theta$

여기서

는 표준 라플라시안 행렬이고

입니다. 만약

u^{n + 1} = u^{n} + \frac{μ}{2} ((1 - θ) A u^{n} + θ A u^{n + 1})

$u^{n+1} = u^n + \frac{\mu}{2}\left( (1-\theta)Au^n + \theta Au^{n+1}\right)$

A

$A$

0 \leq θ \leq 1

$0 \leq \theta \leq 1$

바와 같이, 스킴은 안정적이다. (이는 푸리에 기법으로 쉽게 보여 질 수 있습니다.) 그러나 더 강한 기준은

μ (1 - 2 θ) \leq \frac{1}{2}

$\mu(1-2\theta) \leq \frac{1}{2}$

최대 원칙이 일반적으로 유지 되려면

가 필요합니다.

μ (1 - θ) \leq \frac{1}{2}

$\mu(1-\theta) \leq \frac{1}{2}$

이에 대한 증거 는 KW Morton의 부분 미분 방정식의 수치 해를 참조하십시오 . 특히 2.10 절과 2.11 절과 정리 2.2를 보라.

대한 제약없이 최대 원리가 크랭크-니콜슨에 일반적으로 적용되지 않는 것을 볼 수있는 좋은 방법이 있습니다 . $\mu$

경계를 포함하여 3 개의 점을 포함하는 이산화로 의 열 방정식을 고려하십시오 . 시간 단계 및 그리드 포인트 에서의 이산화를 표시 하자 . 모든 대해 되도록 디리클레 경계를 가정합니다 . 그런 다음 크랭크-니콜슨은 $[0,1]$ $u_i^k$ $k$ $i$ $u^k_0 = u^k_2 = 0$ $k$ 추가로 감소 될 수있다

(1 - \frac{μ}{2} (- 2)) u_{1}^{n + 1} = (1 + \frac{μ}{2} (- 2)) u_{1}^{n},

$\left(1 - \frac{\mu}{2}(-2)\right)u^{n+1}_1 = \left(1 + \frac{\mu}{2}(-2)\right)u^n_1,$

u_{1}^{n + 1} = (\frac{1 - μ}{1 + μ}) u_{1}^{n} .

$u^{n+1}_1 = \left(\frac{1-\mu}{1+\mu}\right)u^n_1.$

우리의 초기 조건을 고려하면 , 우리는이 $u_1^0 = 1$

u_{1}^{n} = {(\frac{1 - μ}{1 + μ})}^{n},

$u^n_1 = \left(\frac{1-\mu}{1+\mu}\right)^n,$

u_{1}^{n} \leq 1

$u^n_1 \leq 1$

u_{1}^{n} < 0

$u^n_1 < 0$

n

$n$

μ \leq 1

$\mu \leq 1$

μ \leq 1

$\mu \leq 1$

μ

$\mu$

foobarbaz의 요청에 따라, 증거의 스케치를 추가했습니다.

열쇠는 형식으로 구성표를 작성하는 것입니다

\begin{aligned} (1 + 2 θ μ) u_{j}^{n + 1} & = θ μ (u_{j - 1}^{n + 1} + u_{j + 1}^{n + 1}) \\ + (1 - θ) μ (u_{j - 1}^{n} + u_{j + 1}^{n}) \\ + [1 - 2 (1 - θ) μ] u_{j}^{n} \end{aligned}

$\begin{align*} (1+2\theta\mu)u^{n+1}_j &= \theta\mu(u^{n+1}_{j-1} + u^{n+1}_{j+1})\\ &+ (1-\theta)\mu(u^n_{j-1} + u^n_{j+1})\\ &+ [1-2(1-\theta)\mu]u^n_j \end{align*}$

이라는 가설 $\mu(1-\theta)\leq \frac{1}{2}$

$u^{n+1}_j$ $u^{n+1}_{j-1}$ $u^{n+1}_{j+1}$ $u^n_{j-1}$ $u^n_{j+1}$ $u^n_j$ $u^{n+1}_j$ $u^{n+1}_j$

\begin{aligned} (1 + 2 θ μ) u_{j}^{n + 1} & > θ μ (u_{j - 1}^{n + 1} + u_{j + 1}^{n + 1}) \\ + (1 - θ) μ (u_{j - 1}^{n} + u_{j + 1}^{n}) \\ + [1 - 2 (1 - θ) μ] u_{j}^{n} \\ = (1 + 2 θ μ) u_{j}^{n + 1} \end{aligned}

$\begin{align*} (1+2\theta\mu)u^{n+1}_j &> \theta\mu(u^{n+1}_{j-1} + u^{n+1}_{j+1})\\ &+ (1-\theta)\mu(u^n_{j-1} + u^n_{j+1})\\ &+ [1-2(1-\theta)\mu]u^n_j\\ &= (1+2\theta\mu)u^{n+1}_j \end{align*}$

$u^{n+1}_j$ $u$

— 벤
소스

감사! Morton 이외의 다른 참조에 대해 알고 있습니까? Google 도서 미리보기에서 해당 섹션 또는 정리에 액세스 할 수 없습니다. 증거를 이해하고 싶습니다.

— foobarbaz

@foobarbaz 다른 참고 자료가 없지만 증거의 개요를 추가했습니다. 더 명확하게 할 수 있는지 알려주세요.

— Ben

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안정성은 섭동이 시간의 경계에 남아 있음을 의미합니다. 그렇다고 최대 원칙이 개별 수준에서 충족된다는 의미는 아닙니다. 이는 다른 문제입니다. 불연속 최대 원리를 만족시키는 것으로 충분하지만 안정성에는 필요하지 않습니다.

— 크리스
소스