유한 요소에 대한 단일 교란 반응 확산 문제에서의 진동

12

FEM은-이산화하고, 반응 확산 문제, 예를 들어, 풀 때 (단수 변동)을 갖는 인 경우, 이산 문제의 해는 일반적으로 경계에 가까운 진동 층을 나타냅니다. 함께 , 및 선형 유한 요소 솔루션은 같이 보인다

- ε Δ u + u = 1 on Ω u = 0 on \partial Ω

$- \varepsilon \Delta u + u = 1 \text{ on } \Omega\\ u = 0 \text{ on } \partial\Omega$

0 < ε ≪ 1

$0 < \varepsilon \ll 1$

Ω = (0, 1)

$\Omega = (0,1)$

ε = 10^{- 5}

$\varepsilon=10^{-5}$

u_{h}

$u_h$

특이하게 교란 된 문제의 해결책

나는 대류에 의해 야기 될 때 그러한 원치 않는 효과들 (예를 들어, 상향식 이산화)에 대한 많은 문헌이 있지만, 반응에 관해서, 사람들은 세련된 메쉬 (Shishkin, Bakhvalov)에 초점을 맞추는 것 같습니다.

그러한 진동을 피하는, 즉 단 조성을 유지하는 분별력이 있습니까? 이 맥락에서 또 다른 유용한 점은 무엇입니까?

— 니코 슐 뢰머
소스

1

M- 매트릭스로 이어지기 때문에 단 조성을 유지하는 중심 차이 방식이 아닙니까?

— Hui Zhang

⟨ 1 ϕ_{i}, ϕ_{j} ⟩ > 0

$\langle 1 \phi_i, \phi_j\rangle > 0$

@HuiZhang 유한 차이 (및 유한 체적)의 경우에는 물론입니다. 유한 요소에 관심이 있다는 답변을 더 명확하게 설명하겠습니다.

— Nico Schlömer 2016 년

1

불연속 Galerkin 방법은 이러한 문제에 대해 매우 인기를 얻었습니다. Di Pietro와 Ern의 책을 보셨습니까?

— 크리스찬 클라 슨

6

표시하는 경우 솔루션에 경계 레이어가 있습니다. 메쉬가 너무 거칠기 때문에 해결할 수 없다면 모든 실질적인 문제에 대한 해결책은 수치 체계와 불 연속적입니다.

$N$

$\varepsilon$ $h\rightarrow 0$

— 볼프강 뱅 거스
소스

4

TL; DR : 귀하의 선택은 제한적입니다. 1) 정확하고 값 비싼 솔루션에 대한 무차별 대입 2) 덜 정확하지만 안정적인 솔루션에 수치 확산을 사용하거나 (나의 마음에 드는) 3) 이것이 단일 한 섭동 문제라는 사실을 활용하고 해결 두 가지 저렴한 내 / 외부 문제와 일치하는 무증상이 마법을 발휘하게하십시오!

$\delta = \mathcal{O}(\sqrt{\epsilon})$

$x = \mathcal{O}(\delta)$ $\eta = x/\delta$

- Δ u_{i} + u_{i} = 1

$-\Delta u_i + u_i = 1$

$u(0) = 0$ $u_i(\eta\rightarrow\infty) = u_o(x\rightarrow0)$ $u_o$ $x = \mathcal{O}(1)$ $u$ $1$ $u_0 = 1$ 내부 솔루션을 쉽게-이 경우 분석적으로도 가능합니다.

이것은 사실 유체 역학에서 층류 경계층 문제를 해결하는 데 매우 인기가 있었지만 여전히 널리 사용되는 기술입니다. 실제로 Navier-Stokes 방정식, 레이놀즈 수가 높으면 여기에서 언급 한 것과 같이 특이한 섭동 문제에 효과적으로 직면하고 있습니다. 실제로 방금 설명한 유체 경계층 문제에서 비롯됩니다.

$u_0 = 1$

— GradGuy
소스