가변 속도의 대류 방정식이 보수적 일 수 있습니까?

가변 속도 계수를 가진 advection 방정식을 조금 더 잘 이해하려고합니다. 특히 나는 방정식이 어떻게 보수적 일 수 있는지 이해하지 못한다.

\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x} (v u) = 0

$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x}(\boldsymbol{v}u) = 0$

를 어떤 물리적 종의 농도 ( ) 또는 생성하거나 파괴 할 수없는 다른 물리량 의 농도로 해석해 봅시다 . 도메인에 를 통합 하면 일정하게 유지되어야합니다. $u(x,t)$ $cm^{-3}$ $u(x,t)$

\int_{x_{min}}^{x_{max}} u (x, t) d x = constant

$\int_{x_{\text{min}}}^{x_{\text{max}}} u(x,t) dx = \text{constant}$

(이것은 보수적이라는 의미입니다.)

이제 속도를 공간과 시간의 함수 로 지정하면 체인 규칙을 적용하여 $\boldsymbol{v}(x,t)$

\frac{\partial 유}{\partial 티} + V \frac{\partial 유}{\partial 엑스} + \underset{?}{\underset{⏟}{유 \frac{\partial V}{\partial 엑스}}} = 0

$\frac{\partial u}{\partial t} + \boldsymbol{v}\frac{\partial u}{\partial x} + \underbrace{u\frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial x}}_{\text{?}} = 0$

마지막 용어는 소스 용어 처럼 "보여지고" 이것이 혼란 스럽습니다. 속도 필드의 발산에 따라 수량 늘리거나 줄 입니다. $u$

이 질문에 이어 나는 보존 경계 조건을 부과하는 방법을 이해합니다. 그러나 가변 속도 이류 방정식의 경우 연쇄 규칙을 적용하여 도입 된 추가 "소스 용어"로 인해 보존 경계 조건을 도출 할 수있는 방법을 이해하지 못합니다 . 이 방정식은 보수적 일 수 있습니까? 그렇다면 어떻게 정확한 경계 조건을 적용 할 수 있습니까?

advection conservation

— 보이 파렐
소스

전송의 기본 양은 인 플럭스 , 이류 대. 발산 정리는 $\mathbf v u$

\int_{Ω} \nabla \cdot (V 유) = \int_{\partial Ω} (V 유) \cdot 엔 .

$\int_\Omega \nabla\cdot (\mathbf v u) = \int_{\partial \Omega} (\mathbf v u) \cdot \mathbf n .$

방정식이이 평등을 유지하면 보수적입니다. 로 1D로 방정식 하면 $\Omega = (a,b)$ $u_t + (\mathbf v u)_x = 0$

(\int_{ㅏ}^{비} 유)_{티} = \int_{ㅏ}^{비} 유_{티} = - \int_{ㅏ}^{비} (V 유)_{엑스} = - V 유 |_{ㅏ}^{비}

$\Big(\int_a^b u\Big)_t = \int_a^b u_t = -\int_a^b (\mathbf v u)_x = -\mathbf v u |_a^b$

여기서 오른쪽의 용어는 왼쪽과 오른쪽 경계 사이의 플럭스 차이입니다.

두 번째 관찰과 관련하여 비 보수적 (비 분기) 형태는 오도의 소지가 있습니다 (매끄러운 솔루션에 대해서만 정당화됩니다). 제품 이다 없는 경우 보수적 전송 무 발산 (1D에서 즉, 상수)이 아니다. 보존 적 특성을 고수하고 보존 특성을 평가할 때 연쇄 규칙을 적용하려는 충동에 저항해야합니다. $\mathbf v \cdot \nabla u$ $\mathbf v$

— 제드 브라운
소스

정말 명확한 답변에 다시 한 번 감사드립니다. Jed! 나는 이것에 대한 후속 질문을 할 것이라고 생각하지만, 먼저 제안을 이행해야합니다.

— boyfarrell