일부 PDE 문제를 수치 적으로 해결할 때 가변 스케일링이 필수입니까?

반도체 시뮬레이션에서 방정식이 정규화되어 값이 정규화되는 것이 일반적입니다. 예를 들어, 극단적 인 경우 반도체의 전자 밀도는 18 배 이상 변할 수 있으며 전기장은 6 (또는 그 이상) 자릿수 이상으로 형태가 변할 수 있습니다.

그러나 논문은 실제로 이것을하는 이유를 제공하지 않습니다. 개인적으로 나는 실제 단위로 방정식을 다루는 것을 기쁘게 생각합니다.이를 수행하는 데 수치 적 이점이 있습니까? 그렇지 않으면 불가능합니까? 나는이 변동에 대처하기에 충분한 자릿수가 충분하다고 생각했습니다.

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두 답변 모두 매우 유용합니다. 대단히 감사합니다!

(선형) PDE를 풀면 선형 시스템을 생성하기 위해 방정식을 이산화하여 수렴 (속도)이 행렬의 조건 수에 따라 결정되는 선형 솔버로 해석됩니다. 변수의 크기를 조정하면 종종이 조건 수가 줄어들어 수렴이 향상됩니다. (이것은 기본적으로 대각선 전제 조건을 적용하는 것에 해당합니다. Nicholas Higham 's 참조) 정확도 및 수치 알고리즘의 안정성)

비선형 PDE를 해결하려면 스케일링도 수렴에 영향을 줄 수있는 뉴턴 방법과 같은 비선형 방정식을 푸는 방법이 필요합니다.

모든 것을 정규화하는 데는 보통 거의 노력이 들지 않으므로 거의 항상 좋은 생각입니다.

$$-\varepsilon \Delta u + u = 0 \text{ on } \Omega,\\ u = 1 \text{ on } \partial\Omega.$$

즉, 이러한 어려움을 제거하는 변수 또는 도메인의 스케일링은 없습니다.

$u_{\alpha}$

$$-\alpha^2\Delta u = f_\alpha \text{ on } \alpha\Omega$$ $\alpha$$u_1$ $$-\Delta u = f \text{ on } \Omega.$$ $u_{\alpha}(\mathbf{x}):=u_1(\mathbf{x}/\alpha)$$\alpha$$\alpha$

부동 소수점 숫자를 다루는 것은 많은 다른 측면뿐만 아니라 더 큰 숫자에서 작은 숫자를 빼는 것과 관련하여 까다로울 수 있습니다. John D. Cooks 블로그 게시물을 읽는 것이 좋습니다.

부동 소수점 수의 해부학

오라클뿐만 아니라

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또한 최소화 또는 최대화를위한 특정 수치 알고리즘은 수치 안정성을 위해 정규화를 요구합니다.