매트릭스 표현을위한 상징적 인 소프트웨어 패키지?

우리는 가 대칭적이고 양의 한정된 것을 알고 있습니다. 우리는 B 가 직교 한다는 것을 알고 있습니다 .$\mathbf A$$\mathbf B$

질문 : 대칭적이고 양의 한정입니까? 답 : 예.$\mathbf B \cdot\mathbf A \cdot\mathbf B^\top$

질문 : 컴퓨터가 우리에게 이것을 말해 줄 수 있습니까? 답 : 아마도.

행렬에 대해 알려진 사실을 처리하고 전파하는 상징적 대수 시스템 (예 : Mathematica)이 있습니까?

편집 : 분명히 추상적으로 정의 된 행렬에 대해이 질문을하고 있습니다. 즉 , 와 B에 대한 명시적인 항목이 없으며 , 둘 다 행렬이며 symetric, positive definite 등과 같은 특정 속성이 있음을 알고 있습니다.$A$$B$

편집 : 이것은 현재 SymPy에 있습니다

$ isympy
In [1]: A = MatrixSymbol('A', n, n)
In [2]: B = MatrixSymbol('B', n, n)
In [3]: context = Q.symmetric(A) & Q.positive_definite(A) & Q.orthogonal(B)
In [4]: ask(Q.symmetric(B*A*B.T) & Q.positive_definite(B*A*B.T), context)
Out[4]: True

다른 작품을 보여주는 더 오래된 대답

그래서 이것을 잠시 살펴본 후에 이것이 내가 찾은 것입니다.

내 특정 질문에 대한 현재 답변은 "아니요.이 질문에 대답 할 수있는 현재 시스템이 없습니다"입니다. 그러나 가까이 오는 것 몇 가지가 있습니다.

먼저 Matt Knepley와 Lagerbaer는 Diego Fabregat과 Paolo Bientinesi의 작품을 가리 켰습니다 . 이 연구는이 문제의 잠재적 중요성과 가능성을 보여줍니다. 잘 읽었습니다. 불행히도 나는 그의 시스템이 어떻게 작동하는지 또는 가능한지 확실하지 않습니다 (이 주제에 대한 다른 공개 자료를 아는 사람이 있으면 알려주십시오).

둘째, Mathematica를 위해 쓰여진 xAct 라는 텐서 대수 라이브러리가 있습니다. 그것은 어떤 일을 잘하지만 선형 대수의 특별한 경우에 맞지 않습니다.

셋째, 이러한 규칙은 자동 정리 증명 보조자 인 Coq 의 두 라이브러리에 공식적으로 기록되어 있습니다 (Google은 coq 선형 / 행렬 대수를 검색하여 몇 가지를 찾습니다). 불행히도 인간의 상호 작용이 필요한 강력한 시스템입니다.

일부 정리 증명 자들 과 이야기를 나눈 후에 그들은 이런 종류의 일에 대해 논리 프로그래밍 (즉, Lagerbaer가 제안한 Prolog)을 살펴볼 것을 제안합니다. 내 지식으로는 아직 완료되지 않았습니다. 나는 앞으로 그것을 가지고 놀 수 있습니다.

업데이트 : Maude 시스템을 사용하여 이것을 구현했습니다 . 내 코드는 github에서 호스팅 됩니다

NCAlgebra http://www.math.ucsd.edu/~ncalg/ 패키지 (수학에서 실행 됨)를 사용하여 일부 기호 행렬 계산 (예 : 블록 행렬 완성)을 수행 할 수 있습니다 .

Bergman http://servus.math.su.se/bergman/ 은 비슷한 기능을 가진 Lisp 패키지입니다.

관련 논문 :
http://math.ucsd.edu/~helton/osiris/COMPALG2000/ohRevisIJC.pdf
http://math.ucsd.edu/~thesis/thesis/dkronewitter/dkronewitter.pdf
http : // www. tandfonline.com/doi/abs/10.1080/00207170600882346

CAS2x23x3$\mathbf B$

그렇다면 문제는 N차원 행렬은 어떻습니까? for N-1 x N-1가 참이라고 가정 되는 유도 체계를 생각해 낸 다음 전체 크기 N x N를 가진 새로운 블록 행렬을 구성하여 양의 명확하고 대칭임을 증명할 수 있습니다.

소프트웨어가 더 나은 작업 (있는 경우)에 적합있는 마지막 질문, 그래서 내 경험에있다 MATLAB/MuPad하고 Derive(여전히 사용)도 그 중은 벡터와 행렬 아주 잘 처리합니다. MATLAB모든 것을 구성 요소로 분류하고 Derive선언 할 수는 Non-scalars있지만 단순화 규칙을 적용하지는 않습니다.

$\vec a \times (\vec b \times \vec c) = (\vec a \cdot \vec b)\vec c - (\vec a \cdot \vec c) \vec b$

마지막으로이 패키지 중 하나를 사용한 지 오래되었지만 어설 션을 사용하여 Mathematica와 같은 언어로이 작업을 수행 할 수 있다고 생각했습니다. Assert [A, Symmetric]과 같은 것은 Mathematica에게 A가 대칭 행렬 등임을 알려줍니다. 지금은 어느 쪽도 편리하게 액세스 할 수 없으므로 확인해야합니다.

메이플 15는 할 수 없습니다. 행렬에 대해 "직교"속성이 없습니다 (심볼 및 PositiveDefinite가 있음).

Mathematica에서는 최소한 특정 행렬에 대한 이러한 속성을 확인할 수 있습니다. 예를 들어, A설명 된 매트릭스 :

In[1]:= A = {{2.0,-1.0,0.0},{-1.0,2.0,-1.0},{0.0,-1.0,2.0}};
        {SymmetricMatrixQ[A],PositiveDefiniteMatrixQ[A]}
Out[2]= {True,True}

매트릭스의 경우 B:

In[3]:= B = {{0, -0.80, -0.60}, {0.80, -0.36, 0.48}, {0.60, 0.48, -0.64}};
        Transpose[B] == Inverse[B]
Out[4]= True

그때:

In[5]:= c = B.A.Transpose[B];
        {SymmetricMatrixQ[c],PositiveDefiniteMatrixQ[c]}
Out[6]= {True,True}

Mathematica 행렬 및 선형 대수 설명서