행렬을 반전시키기위한“공인 자 기법”에 실질적인 의미가 있습니까?

제목이 문제입니다. 이 기법은 "공인 자 행렬"또는 "아주 게이트 행렬"을 사용하며, 정사각 행렬의 역 성분에 대한 명시 적 공식을 제공합니다. 예를 들어 보다 큰 행렬에 대해서는 손으로하기가 쉽지 않습니다 $3\times 3$ . 들면 $n\times n$ 행렬 경우, 매트릭스 자체의 행렬식을 계산하고 계산이 필요 $n^2$ 중 결정 $(n-1)\times(n-1)$ 행렬. 그래서 나는 그것이 응용 프로그램에 유용하지 않다고 생각합니다. 그러나 나는 확인을 원합니다.

나는 행렬에 대한 이론을 증명하는 데있어서 기술의 이론적 중요성에 대해서는 묻지 않았다.

linear-algebra matrix complexity

— 스테판 스미스
소스

답변:

$O(n)$ $O(n^3)$

— 볼프강 뱅 거스
소스

O (n!)

$O(n!)$

O (n^{3})

$O(n^3)$

O (n!)

$O(n!)$

det (A B) = det (A) det (B)

$\det(\mathbf A\mathbf B)=\det(\mathbf A)\det(\mathbf B)$

O (n^{3})

$O(n^3)$

예, 맞습니다. 결정자는 분해 비용으로 계산할 수 있습니다 . (재귀 적 확장을 사용하여 교과서에 표시되는 순진한 방법은 Paul이 언급 한 - 복잡성에 기하 급수적입니다 ). 그러나 그래도 제안 된 알고리즘에 대해 의 전체적인 복잡성을 얻을 수 있습니다 . 가우시안 제거보다 훨씬 더 많은 부분이 있으며 반복 솔버보다 훨씬 더 많습니다.

L U

$LU$

n

$n$

n!

$n!$

O (n^{5})

$O(n^5)$

— Wolfgang Bangerth

옳은. 행 감소는 분해 계산의 절반입니다 . 그것은 감소 받는 요인. 작업의 나머지 절반은 항등 행렬에서 시작하여 동일한 연산을 수행하여 행렬을 산출합니다 . 당신이 관심있는 모든 것이 결정 요인이라면 후자를 피할 수 있다는 것은 사실입니다.

L U

$LU$

A

$A$

U

$U$

L

$L$

— Wolfgang Bangerth

나는 군중에 대항하고 있습니다-아주 작은 행렬은 사실 작은 행렬 (4 이하)과 같은 일부 특수 응용 분야에 매우 유용합니다. 특히 행렬의 역수가 필요하지만 스케일에 신경 쓰지 않을 때 특히 그렇습니다.

두 가지 예에는 매우 작은 문제 에 대한 역 호모 그래피 계산 과 레일리 몫 반복 이 포함됩니다 (접점을 사용하여 단순화하는 것이 수치 적으로 더 좋습니다).

— 바구니가없는
소스

나는 그것이 많은 도움이되는 경우 (일반적으로 작은 행렬의 경우)가 있다는 것에 완전히 동의합니다! (예를 들어, 작은 심플 렉스에서 무게 중심 좌표를 계산하는 경우)

— BrunoLevy 20시 43 분