일정하지 않은 계수를 유한 볼륨 1 차 상향식 체계로 어떻게 처리해야합니까?

11

보존 형태의 대류 방정식으로 시작합니다.

u_{t} = (a (x) u)_{x}

$u_t = (a(x)u)_x$

여기서 공간에 의존하는 속도이고, 보존 된 종의 농도이다. $a(x)$ $u$

플럭스 분리 (플럭스 는 메쉬 포인트 사이의 셀 가장자리에 정의) $f=a(x)u$

u_{t} = \frac{1}{h} (f_{j - \frac{1}{2}} - f_{j + \frac{1}{2}})

$u_t = \frac{1}{h}\left( f_{j-{\frac{1}{2}}} - f_{j+{\frac{1}{2}}} \right)$

1 차 상향식을 사용하여 플럭스를

부여

f_{j - \frac{1}{2}} = a (x_{j - \frac{1}{2}}) u_{j - 1} f_{j + \frac{1}{2}} = a (x_{j + \frac{1}{2}}) u_{j}

$f_{j-{\frac{1}{2}}} = a(x_{j-\frac{1}{2}})u_{j-1} \\ f_{j+{\frac{1}{2}}} = a(x_{j+\frac{1}{2}})u_{j}$

u_{t} = \frac{1}{h} (a (x_{j - \frac{1}{2}}) u_{j - 1} - a (x_{j + \frac{1}{2}}) u_{j})

$u_t = \frac{1}{h} \left( a(x_{j-\frac{1}{2}})u_{j-1} - a(x_{j+\frac{1}{2}})u_{j} \right)$

경우 일정이었다 다음이 익숙한 풍상 체계의 예를 줄일 수, $a(x)$ . $u_t = \frac{a}{h} \left( u_{j-1} - u_{j} \right)$

내 질문은, 우리는 어떻게 대류 방정식 의 비 상수 계수를 처리 할 수 있습니까? 속도는 셀 중심에서 정의되므로 간단한 접근 방식은 다음과 같습니다.

a (x_{j - \frac{1}{2}}) \to a (x_{j - 1}) a (x_{j + \frac{1}{2}}) \to a (x_{j})

$a(x_{j-\frac{1}{2}}) \rightarrow a(x_{j-1}) \\ a(x_{j+\frac{1}{2}}) \rightarrow a(x_{j})$

구현하기가 매우 간단하기 때문에 이것이 내가 선호하는 방법입니다.

그러나 우리는 또한 셀 가장자리에 속도를 정의하기 위해 (내가 추측입니다) 평균화 방식을 사용할 수,

a (x_{j - \frac{1}{2}}) \to \frac{1}{2} a (x_{j - 1}) + \frac{1}{2} a (x_{j}) a (x_{j + \frac{1}{2}}) \to \frac{1}{2} a (x_{j}) + \frac{1}{2} a (x_{j + 1})

$a(x_{j-\frac{1}{2}}) \rightarrow \frac{1}{2}a(x_{j-1} ) + \frac{1}{2}a(x_{j} ) \\ a(x_{j+\frac{1}{2}}) \rightarrow \frac{1}{2}a(x_{j} ) + \frac{1}{2}a(x_{j+1} ) \\$

에서 LEVEQUE의 책 그는 말한다

$a(x)$ $a_j$ $a_{j−{\frac{1}{2}}}$

그러나 그는 그 이후로 너무 정교하지 않습니다. 일반적인 접근법은 무엇입니까?

보존 문제를 해결하고 있는데 (이류 방정식을 연속성 방정식으로 사용하고 있습니다) 따라서 분할 특성을 적용한 후 보존 속성이 보존되도록해야합니다. 이 변수 계수에 관한 숨겨진 놀라움을 피하고 싶습니다! 누구든지 일반적인 의견과 지침이 있습니까?

업데이트 아래에는 두 가지 좋은 답변이 있으며 하나만 선택할 수 있습니다.

discretization finite-volume numerical-analysis

— 보이 파렐
소스

4

$a$

가장 중요한 것은 (이미 귀하의 질문에서 이미 언급 한) 이산화 시스템은 여전히 보수적이라는 것입니다. 당신의 계획이 양식으로 작성 될 수 있다면

$\frac{\partial u_j}{\partial t} = F_{j-\frac{1}{2}}(u_{j-1},u_j) - F_{j+\frac{1}{2}}(u_j,u_{j+1})$

그런 다음 보수적이어야합니다.

$\frac{\partial}{\partial t}\int u dx = \sum_j\frac{\partial u_j}{\partial t}\delta x = \sum_j( F_{j-\frac{1}{2}}- F_{j+\frac{1}{2}} )\delta x = (F_{-\frac{1}{2}}-F_{N+\frac{1}{2}})\delta x$

속도가 항상 양수인 경우 셀 간 속도를 셀 인터페이스에서 정의하기 위해 셀 간 속도를 평균화하는 것처럼 간단한 접근 방식이 제대로 작동해야합니다. 또한 평균화가 더 높은 정확도를 가져다 줄 것이라고 생각하지 않으므로 간단한 방법을 선호하는 것이 옳습니다.

속도를 풀고 방정식 시스템을 가지고 있다면 더 조심해야 할 수도 있습니다. 마찬가지로 비선형 쌍곡선 PDE를 해결하고 플럭스 리미터를 사용하는 경우에는 더욱 신중해야합니다.

그러나 쌍곡선 PDE 시스템의 경우 엇갈린 격자를 사용하면 인공 분산 / 확산이 실질적으로 개선 될 수 있습니다 . 더 알고 싶다면 Arakawa C-grids를 보거나이 책의 4 장을 확인하십시오 .

— 다니엘 셰이프로
소스

설명해 주셔서 감사합니다. 그리고 직감이 맞습니다. 방정식 중 하나가 속도 (다른 변수의 PDE) 인 방정식 시스템을 풀고 있습니다. 방정식 시스템 은 1D에만 해당되며, 지수 피팅과 함께 적응 형 1 차 상향식 방법 (2 차 중심과 상향 방향을 전환 할 수 있음)을 사용할 계획입니다. 플럭스 리미터를 사용하지 않지만 시스템은 비선형입니다. 이 상황에서 "보다 신중해야"합니까?

— boyfarrell 2016 년

충격파 등이 형성 될 것으로 예상되는 경우, 일부 지역에서 속도가 0 미만으로 떨어질 가능성이 있거나, Courant-Friedrichs-Lewy 조건을 무시할 정도로 속도가 높아질 수있는 경우에 모두 다릅니다. 어느 시점에서. 즉, 간단한 접근 방식을 먼저 시도하여 작동하는지 확인하고 잘 수행 할 수 있습니다. 그것이 실패한다면, 그것은 훌륭하고 모호하지 않게 될 것이므로, 당신은 당신의 레이더 아래에 잘못된 미끄러짐이 있다고 걱정할 필요가 없다고 생각합니다.

— Daniel Shapero

예 , 도메인의 중심 에서만 속도가 0이 아닌 것으로 예상 한 다음 중심에서 멀어 질수록 빠르게 0에 접근합니다. CFL 조건이 충족되도록 (최대 속도 사용) 메쉬가 고정되도록 시간 단계를 선택하고 있습니다. 충격파의 기준은 무엇입니까? 나는 그것을보고 기대하지 않습니다 (그러나 당신은 알지 못합니다).

— boyfarrell

5

$a(x)$

내가 일관성있게 의미 하는 것은 보간이 만족시켜야 하는 유일한 조건은

a_{i + 1 / 2}^{+} = a_{i + 1 / 2}^{-}

$a_{i+1/2}^+ = a_{i+1/2}^-$

다시 말해, 보간 방법이 셀 경계에 걸쳐 연속적인 한 , 이산화는 보수적 인 상태를 유지하게됩니다.

이것은 1D에서 큰 문제처럼 보이지 않을 수도 있지만 다중 레벨 AMR 그리드의 거친 인터페이스에서 문제를 일으킬 수 있습니다.

— GradGuy
소스

u_{j + \frac{1}{2}}

$u_{j+\frac{1}{2}}$

a (x_{j + \frac{1}{2}})

$a(x_{j+\frac{1}{2}})$

a (x_{j + \frac{1}{2}}) \to a (x_{j + 1})

$a(x_{j+\frac{1}{2}}) \rightarrow a(x_{j+1})$

u_{j + \frac{1}{2}}

$u_{j+\frac{1}{2}}$

@boyfarrell이 방법은 보수적 인 것으로 남아 있다는 점에서 괜찮을 것입니다. 그러나 솔루션의 정확성에 영향을 미칩니다. 종종, 예를 들어 ENO 방식에서, 속도와 솔루션이 아닌 전체 플럭스 함수에 근접합니다.

— GradGuy 2016 년

4

$a(x_{j-\frac{1}{2}})$

이것이 왜 그런지 보려면 보수주의 분석 정의가

\frac{\partial}{\partial t} \int_{D} u (x) d x = \int_{\partial D} a (x) u (x) d S,

$\frac{\partial}{\partial t}\int_D u(x)\, dx = \int_{\partial D} a(x)u(x) dS,$

$D$

우리의 이산화가 형식이라면

u_{t} (x_{j}) = \frac{1}{h} (a (x_{j - \frac{1}{2}}) u_{j - \frac{1}{2}} - a (x_{j + \frac{1}{2}}) u_{j + \frac{1}{2}})

$u_t(x_j) = \frac{1}{h}\left(a(x_{j-\frac{1}{2}})u_{j-\frac{1}{2}} - a(x_{j+\frac{1}{2}})u_{j+\frac{1}{2}}\right)$

$x_1,\ldots, x_n$ $D = [c,d]$ $c = x_{\frac{1}{2}}$ $d = x_{n+\frac{1}{2}}$

\frac{1}{h} \sum_{j = 1}^{n} (a (x_{j - \frac{1}{2}}) u_{j - \frac{1}{2}} - a (x_{j + \frac{1}{2}}) u_{j + \frac{1}{2}}) = a (x_{\frac{1}{2}}) u_{\frac{1}{2}} - a (x_{n + \frac{1}{2}}) u_{n + \frac{1}{2}},

$\frac{1}{h}\sum_{j=1}^n\left(a(x_{j-\frac{1}{2}})u_{j-\frac{1}{2}} - a(x_{j+\frac{1}{2}})u_{j+\frac{1}{2}}\right) = a(x_{\frac{1}{2}})u_{\frac{1}{2}} - a(x_{n+\frac{1}{2}})u_{n+\frac{1}{2}},$

$u_{j-\frac{1}{2}} = u_{j-1}$ $u_{j+\frac{1}{2}} = u_j$ $a(x)u$

$a(x)$ $a(x_{j-r}), \ldots, a(x_{j+s})$ $a(x_{j-\frac{1}{2}})$

— 벤
소스