두 개의 12x12 행렬이 동일한 결정자를 갖는지 테스트

$12 \times 12$ $Q$

det (Q) = det (12 I - Q - J) (1)

$\det(Q) = \det(12I-Q-J) \; \; (1)$

J

$J$

나는 현재 armadillo 라이브러리로 이것을하고 있지만 너무 느립니다. 문제는 1 조의 행렬에 대해이 작업을 수행해야하며 두 결정 요인을 계산하는 것이 내 프로그램의 병목 현상이라는 것이 밝혀졌습니다. 따라서 두 가지 질문이 있습니다

크기를 알면 결정자를 더 빨리 계산하는 데 사용할 수있는 트릭이 있습니까? 이 경우 행렬에 대한 지저분한 확장 일까요? $12 \times12$
평등을 테스트하는 다른 효율적인 방법이 있습니까? $(1)$

편집하다. 댓글에 답하십시오. 내가 연결된 모든 비 자기 보완 그래프를 계산하는 데 필요한 위해의 이되도록 와 스패닝 트리의 같은 수 있습니다. 이에 대한 동기는이 mathoverflow 게시물 에서 찾을 수 있습니다 . 기계에 관해서는 이것을 8 코어 3.4GHh 기계에서 병렬로 실행하고 있습니다. $G$ $13$ $G$ $\overline{G}$

편집하다. 행렬의 행렬식 을 구체적으로 계산하기위한 C 프로그램을 만들면 예상 실행 시간을 50 % 줄일 수있었습니다 . 제안은 여전히 환영합니다. $12 \times 12$

— 제 레네
소스

너무 느리게? 어떤 하드웨어에 시간이 얼마나 걸립니까? 이 의 수조가 독립적이므로 이러한 많은 결정 요인을 동시에 계산할 수 있습니까? 그렇다면 얼마나 큰 머신을 실행할 수 있습니까? 무엇이이 문제를 일으켰습니까? 결정자를 계산해야합니까?

Q

$Q$

— Bill Barth

결정 요인이 얼마나 자주 (어떤 비율의 경우에 대해) 동일합니까? 대부분의 시간이 다를 경우, 테스트 결과가 다를 수있는 더 저렴한 테스트가있을 수 있으며 첫 번째 테스트가 실패한 경우에만 동일한 지 확인해야합니다. 그들이 거의 같은 시간이라면 다른 방법입니다.

— Wolfgang Bangerth

이미 요청했듯이 출처 에 대해 자세히 설명해 주 시겠습니까? 맹목적으로 계산하는 결정 요인보다 더 나은 접근 방법이있을 수 있습니다.

Q

$\mathbf Q$

— JM

이 조건이 "수 조의 행렬에 대해"테스트되어야한다는 개념은 1) 가 어떤 특별한 구조를 갖는 것으로 알려져 있다고 미리 말하고 (그렇지 않으면 조건이 임의로 유지한다는 기대는 미미 함) 2) 더 나은 접근법이라는 이 속성을 사용하여 모든 행렬 를 특성화 할 수 있습니다 (효율적으로 검사 가능한 공식화).

Q

$Q$

Q

$Q$

— hardmath

@hardmath 예, 는 에서 까지의 대각선 항목 과 대각선 요소에서 범위의 정수 행렬

Q

$Q$

1

$1$

12

$12$

- 1

$-1$

— Jernej

답변:

이미 C ++을 사용하고 있으며 행렬은 대칭 양수 한정이므로 와 의 인수 분해를 수행합니다 . 여기서 도 양의 한정 이라고 가정합니다 . 그렇지 않으면 는 수치 적 안정성을 위해 선회해야 할 것입니다. $LDL^T$ $Q$ $12I-Q-J$ $12I-Q-J$ $LDL^T$

이것은 LU 인수 분해보다 빠르며, 제곱근을 피하기 때문에 Cholesky보다 빠릅니다. 결정 요인은 단순히 대각선 행렬 요소의 곱입니다 . LDL 인수 분해를 수행하는 코드는 매우 간단하여 50 줄 미만의 C로 작성할 수 있습니다. Wikipedia 페이지 의 알고리즘에 대해 설명하고 Cholesky를 수행하는 간단한 템플릿 코드가 있습니다 . 인수 분해 를 구현하기 위해 제곱근을 피하도록 크게 단순화하고 수정할 수 있습니다 . $D$ $LDL^T$

스토리지 형식도 제어 할 수 있으므로 루틴을 더욱 최적화하여 매트릭스의 절반 만 저장하고 선형 배열로 압축하여 메모리 위치를 최대화 할 수 있습니다. 문제 크기가 너무 작기 때문에 간단한 사용자 지정 도트 제품 및 순위 1 업데이트 루틴을 작성합니다. 컴파일러가 루틴을 인라인하여 호출 오버 헤드를 줄 이도록해야합니다. 고정 크기의 루프이기 때문에 컴파일러는 필요할 때 자동으로 인라인 및 언 롤링 할 수 있어야합니다.

가 식 안에 포함 한다는 사실을 이용하기 위해 트릭을 시도하지 않습니다 . 이러한 작은 문제 크기의 경우 이러한 트릭은 단순히 두 개의 개별 결정 행렬 계산을 수행하는 것보다 느려질 수 있습니다. 물론 이러한 주장을 확인하는 유일한 방법은 시도하는 것입니다. $12I-Q-J$ $Q$

— 빅터 리우
소스

Armadillo는 양의 한정 / 대각 적 우위를 이용하는 방법이없는 것처럼 보이기 때문에 루트가없는 Cholesky 인 를 구현할 것을 권장 합니다.

L D L^{T}

$LDL^T$

— hardmath

이들의 구성에 대한 몇 가지 정보가 없으면 양의 확실한 실제 대칭 행렬, 할 수있는 제안은 매우 제한 필요성이다. $12\times 12$

Sourceforge에서 Armadillo 패키지를 다운로드하고 설명서를 살펴 보았습니다. 및 를 별도로 계산하여 성능을 향상 시키십시오 . 여기서 는 예를 들어 . 문서는 이것이 최대 크기 행렬에 대한 기본값 이므로 생략하면 옵션이 경우에 대한 기본값 이라고 가정합니다 . $\det(Q)$ $\det(12I - Q - J)$ $J$ det(Q,slow=false) $4\times 4$ slow=true $12\times 12$

무엇 slow=true 아마도 수행하면 결정이 쉽게 발견되는 행에 쉴론 양식을 얻기에 부분 또는 전체 회전이다. 그러나 행렬 가 양의 명확한 값 임을 미리 알고 있으므로 안정성을 위해 피벗을 수행 할 필요가 없습니다 (적어도 대부분의 계산에서는 추정 할 수 있습니다. 피벗이 지나치게 작아지면 Armadillo 패키지에서 예외가 발생하는지 확실하지 않지만 합리적인 숫자 선형 대수 패키지의 특징 편집 : 나는 상당한 기능을 위해 C ++ 템플릿을 사용하여 헤더 파일에서 구현하는 Armadillo 코드를 발견했습니다 .이 설정 은 영향을 미치지 않습니다 . $Q$ detinclude\armadillo_bits\auxlib_meat.hppslow=false $12\times 12$ 계산은 피벗이 필요하지 않다는 표시없이 그 시점에서 계산이 "벽을 넘어서"LAPACK (또는 ATLAS)에 전달되기 때문에 결정됩니다. det_lapack해당 파일에서 호출을 참조하십시오 .

다른 요점은 BLAS 및 LAPACK의 고속 교체에 연결하는 Armadillo 패키지를 빌드하는 권장 사항을 따르는 것입니다. 섹 참조. 자세한 내용은 Armadillo README.TXT 파일의 5를 참조하십시오. [현재 64 비트 시스템의 속도에는 전용 64 비트 버전의 BLAS 또는 LAPACK을 사용하는 것이 좋습니다.]

에 켈론 형태로의 행 축소는 본질적으로 가우시안 제거이며, 산술 복잡도 있습니다. 두 행렬 모두이 작업의 두 배 또는 입니다. 이러한 작업은 처리 과정에서 "병목 현상"이 될 수 있지만 특별한 구조가 없으면 (또는 상환을 허용하는 1 조 개의 테스트 사례간에 알려진 관계가 있음) 작업이 로 줄어들 수 있다는 희망은 거의 없습니다 . $\frac{2}{3} n^3 + O(n^2)$ $\frac{4}{3} n^3 + O(n^2)$ $Q$ $O(n^2)$

비교를 위해, 일반 행렬의 보조 인자에 의한 확장 에는 포함됩니다곱셈 연산 (대략 많은 덧셈 / 빼기)이므로 경우 비교 ( vs. )는 보조 인자에 대한 제거를 분명히 선호합니다. $n\times n$ $n!$ $n=12$ $12! = 479001600$ $\frac{2}{3} n^3 = 1152$

작업이 필요한 또 다른 방법 은 가계 변환을 통해 를 3 각형 으로 줄이고 를 3 각형으로 만드는 것입니다. 그 후 컴퓨팅 및 는 연산 에서 수행 될 수 있습니다 . [ 두번째 결정에서 랭크 1 업데이트 의 효과는 하나의 삼각형 시스템을 해결함으로써 주어진 스칼라 인자로 표현 될 수있다.] $\frac{4}{3} n^3 + O(n^2)$ $Q$ $12I - Q$ $\det(Q)$ $\det(12I - Q - J)$ $O(n)$ $-J$

이러한 독립적 인 계산을 구현하는 것은 Armadillo의 det함수 를 성공적으로 (또는 실패한) 호출 한 결과를 확인하는 데 유용 할 수 있습니다 .

특수 사례 : Jernej의 의견에서 제안한 바와 같이 여기서 는 모든 것의 1 순위) 행렬이고 은 단수형 (양수) 대각선 행렬. 실제로 그래프 이론에서 제안 된 응용의 경우 정수 행렬이됩니다. 그런 다음 대한 명시 적 공식 은 다음과 같습니다. $Q = D - J$ $J$ $D=\text{diag}(d_1,\ldots,d_n)$ $\det(Q)$

det (Q) = (\prod_{i = 1}^{n} d_{i}) (1 - \sum_{i = 1}^{n} d_{i}^{- 1})

$\det(Q) = \left(\prod_{i=1}^n d_i \right)\left(1 - \sum_{i=1}^n d_i^{-1} \right)$

증명의 스케치는 더 넓은 적용 가능성을 설명 할 수있는 기회를 제공합니다. 즉, 에 알려진 결정 요인이 있고 시스템 가 빠르게 해결 될 때마다 . 다음을 고려하여 시작하십시오. $D$ $Dv = (1\ldots 1)^T$

det (D - J) = det (D) \cdot det (I - D^{- 1} J)

$\det(D - J) = \det(D) \cdot \det(I - D^{-1}J)$

이제 는 다시 1 등급, 즉 입니다. 두 번째 결정 요인은 다음과 같습니다. $D^{-1}J$ $(d_1^{-1}\ldots d_n^{-1})^T(1\ldots 1)$

f (1) = det (I - D^{- 1} J)

$f(1) = \det(I- D^{-1}J)$

여기서 는 의 특성 다항식입니다 . 랭크 1 행렬로서, 는 nullspace를 설명하기 위해 적어도 인자를 가져야합니다. 계산에서 볼 수 있듯이 "missing"고유 값은 . $f(x)$ $D^{-1}J$ $f(x)$ $n-1$ $x$ $\sum d_i^{-1}$

D^{- 1} J (d_{1}^{- 1} \dots d_{n}^{- 1})^{T} = (\sum d_{i}^{- 1}) (d_{1}^{- 1} \dots d_{n}^{- 1})^{T}

$D^{-1}J\; (d_1^{-1}\ldots d_n^{-1})^T = \left(\sum d_i^{-1} \right) (d_1^{-1}\ldots d_n^{-1})^T$

특성 다항식 이며 은 , 입니다. $f(x) = x^{n-1} (x - \sum d_i^{-1})$ $f(1)$ $\det(I - D^{-1}J)$ $1 - \sum d_i^{-1}$

또한 이면 이며, 결정 값은 단순히 대각선 항목의 대각선 행렬입니다. $Q = D-J$ $12I - Q - J = 12I - D + J - J = 12I - D$

— 대수
소스

흠 .. 사실에 의 인접 행렬 인 I이 결과가 정확하지 않을 수 있다는 것을 생각할 수 있도록. 특히, 그래프 의 스패닝 트리의 수는 보유하지 않는 정도 순서에 의해 결정됨을 의미합니다.

Q

$Q$

D - A

$D-A$

A

$A$

G

$G$

G

$G$

— Jernej

비 대각선 항목은 일반적으로 0과 -1을 포함합니다. 빅터 제안 분해 대칭 활용로부터 조작 횟수의 주요 용어를 감소 에 . 정확한 정수 접근 방식이 있지만 적당한 크기의 행렬과 항목에는 필요하지 않을 수 있습니다. 내가 구조를 이해한다면, 는 와 같은 이유로 확실하게 긍정적 입니다.

Q

$Q$

L D L^{T}

$LDL^T$

\frac{2}{3} n^{3}

$\frac{2}{3}n^3$

\frac{1}{3} n^{3}

$\frac{1}{3}n^3$

12 I - Q - J

$12I-Q-J$

Q

$Q$

— hardmath

@Jernej : 내가 언급 한 것이 잘못되었다고 생각되면 이 질문을 기반으로 대화방을 만들었습니다 .

— hardmath

결정자를 계산하려는 그래프를 열거하는 구조적 방법이 있다면, 한 그래프에서 다른 그래프로 이동하는 순위가 낮은 업데이트를 찾을 수 있습니다.

그렇다면 행렬 결정 행렬을 사용하여 현재 그래프 결정 요인에 대한 지식을 사용하여 다음 그래프의 결정 요인을 저렴하게 계산할 수 있습니다.

즉, 행렬 와 벡터 : U와 V가 다음과 같은 경우 일반화 할 수 있습니다. 행렬이고 는 : $A$ $u,v$

det (A + u v^{T}) = (1 + v^{T} A^{- 1} u) det (A)

$\det(A+uv^T)=(1+v^T A^{-1} u)\det(A)$

n \times m

$n \times m$

A

$A$

n \times n

$n \times n$

det (A + U V^{T}) = det (I_{m} + V^{T} A^{- 1} U) det (A)

$\det(A+UV^T)=\det(I_m + V^TA^{-1}U)\det(A)$

역을 효율적으로 계산하려면 셔먼-모리슨 공식 을 사용하여 현재 행렬에서 후속 행렬의 역수를 구할 수 있습니다 .

(A + u v^{T})^{- 1} = A^{- 1} - \frac{A^{- 1} u v^{T} A^{- 1}}{1 + v^{T} A^{- 1} u}

$(A+uv^T)^{-1}=A^{-1}-\frac{A^{-1} uv^T A^{-1}}{1+v^T A^{-1} u}$

— 리차드
소스