병렬 ODE 방법의 최신 상태는 무엇입니까?

39

현재 ODE 통합을위한 병렬 방법을 찾고 있습니다. 광범위한 접근 방식을 설명하는 새롭고 오래된 문헌이 많이 있지만, 일반적으로 주제를 설명하는 최근의 설문 조사 또는 개요 기사를 찾지 못했습니다.

Burrage [1]의 저서가 있지만 거의 20 년이 되었기 때문에, 초현실적 알고리즘과 같은 더 현대적인 아이디어는 많이 다루지 않습니다.

[1] K. Burrage, 정규 미분 방정식에 대한 병렬 및 순차 방법, Clarendon Press, Oxford, 1995

parallel-computing ode numerical-analysis

— 플로리안 브러 커
소스

35

최근의 개요 기사는 알지 못하지만 PFASST 알고리즘 개발에 적극적으로 참여하므로 일부 의견을 공유 할 수 있습니다.

내가 알고있는 세 가지 광범위한 시간 병렬 기술이 있습니다.

방법 전반에 걸쳐 – 독립적 인 RK 단계 또는 외삽 적분기를 병렬로 평가할 수 있습니다. RIDC (Revisionist Integral Deferred Deferred Correction 알고리즘) 참조
문제에 대한 — 파형 완화
시간 영역 전체에서 — 초현실적; PITA (병렬 시간 알고리즘); 및 PFASST (공간 및 시간의 병렬 전체 근사법).

메소드를 병렬로 처리하는 메소드는 일반적으로 스펙에 매우 근접하지만 소수의 (시간) 프로세서 이상으로 확장되지 않습니다. 일반적으로 다른 방법보다 구현하기가 상대적으로 쉬우 며 몇 개의 추가 코어가 있고 예측 가능하고 적당한 속도 향상을 찾고 있다면 좋습니다.

시간 영역에서 병렬화되는 방법에는 Parareal, PITA, PFASST가 있습니다. 이러한 방법은 모두 반복적이며 저렴하지만 부정확 한 "거친"전파 기와 값 비싼 (그러나 정확한) "미세한"전파기로 구성됩니다. 이들은 거친 전파기를 사용하여 얻어진 직렬 솔루션을 개선하기 위해 미세한 전파기를 병렬로 반복 평가함으로써 병렬 효율을 달성한다.

$E$ $E < 1/K$ $K$

이러한 모든 방법을 사용하여 많은 게임을 실행하여 속도를 높이고 도메인 간 기술의 성능은 해결하려는 문제와 거친 속도를 높이는 데 사용할 수있는 기술에 달려있는 것처럼 보입니다. propagator (거친 그리드, 거칠어 진 연산자, 거친 물리 등).

일부 참고 문헌 (논문에 나와있는 참고 문헌 참조) :

이 논문은 다양한 방법들이 방법에 걸쳐 어떻게 병렬화 될 수 있는지를 설명한다 : 고차 명시 적 Runge-Kutta의 이론적 비교, 외삽 및 지연된 보정 방법 ; 케 치손과 Waheed.
이 논문은 또한 방법을 통해 병렬화하는 좋은 방법을 보여주고, RIDC 알고리즘을 소개합니다 : 병렬 고차 적분기 ; Christlieb, MacDonald, 옹.
본 논문은 PITA 알고리즘을 소개한다 : 비선형 구조 역학 문제의 해결을위한 시간 병렬 암시 적 방법 ; Cortial과 Farhat.
Parareal에 대한 많은 논문이 있습니다 (Google 만 해당).
Nievergelt 방법에 대한 논문은 다음과 같습니다 . 병렬 시간 통합에 대한 최소한의 통신 접근 ; 짖는 동물.
이 논문은 PFASST를 소개합니다 : 부분 미분 방정식을위한 효율적인 병렬 시간 방법으로 ; 에멧과 미니언;
이 논문은 PFASST의 깔끔한 적용을 설명합니다 : 대규모 시공간 병렬 N-body 솔버 ; Speck, Ruprecht, Krause, Emmett, Minion, Windel, 긴팔 원숭이.

'net에서 사용 가능한 PFASST의 두 가지 구현을 작성했습니다 : PyPFASST 및 libpfasst .

— 매튜 에멧
소스

1

나는 현재 초현실적 인 것을 배우고 있습니다. 그리고 그것은 저에게 많은 도움이된다고 생각합니다.

— eccstartup 2016 년

이것은 훌륭한 개요입니다. 그러나 ODE는 PDE의 공간 이산화 후에 종종 해결된다는 것을 명시 적으로 언급해야합니다. 따라서 공간 영역이 충분히 크면 방법 전체의 병렬 처리로 수천 개의 코어로 확장 성이 향상 될 수 있습니다. 이는 대부분의 계산 시간이 예를 들어 RK 단계 RHS 평가의 계산에 들어가기 때문입니다.

— NoseKnows 전체

15

이 게시물은 이제 2 살이되었지만 누군가 넘어 질 경우를 대비하여 간단한 업데이트를하겠습니다.

Martin Gander는 최근 현장에 대한 역사적인 관점을 제시하고 여러 가지 PINT 방법에 대해 토론하는 멋진 리뷰 기사를 작성했습니다. http://www.unige.ch/~gander/Preprints/50YearsTimeParallel.pdf

또한 매우 많은 참고 문헌을 나열하고 다양한 방법에 대한 설명을 제공하는 커뮤니티 웹 사이트도 있습니다. http://www.parallel-in-time.org/

특히 패러 리얼 병렬 시간 알고리즘에 대한 설명은 https://en.wikipedia.org/wiki/Parareal 에서 확인할 수 있습니다.

— 다니엘
소스

1

Gander가 Falgout 등의 MGRIT 접근 방식에 대해 이야기하지 않는다는 것에 약간 놀랐습니다. 특히 훌륭한 소프트웨어 (XBraid)에 의해 뒷받침되기 때문에 MGRIT 논문이 최근에 나왔음을 알고 있습니다.

— Geoff Oxberry

1

안녕하세요 Geoff, Martin Gander는 MGRIT 논문이 출판되기 전에 논문을 썼다고 확신합니다.이 논문은 2015 년에 발표 될 예정이지만, 2013 년 말에 이미 온라인으로 출판 된 것으로 보입니다.

— Daniel

1

언뜻보기에이 방법에서는 "방법에 따른 병렬"이 생략 된 것처럼 보입니다. 예를 들어 외삽 법은 언급되지 않았습니다.

— David Ketcheson

4

다음은 파형 이완에 대한 간단한 소개 입니다. 초현실적 또는 PITA 또는 다른 방법과 같은 시간 병렬 방법에 관해 이야기 할 때, 분 산성 및 보수적 (Hamiltonian) ODE 시스템을 구별해야합니다. 후자는 시간 하위 간격으로 분할하여 시간 차원에서 병렬화하기가 더 어려워 보입니다. 다음은 Hamiltonian 시스템에 대한 초현실적 분석입니다 . 초기 시간 에서 발생하는 오류 있기 때문에 소산 시스템이 더 쉽습니다. $u_0$ $u(t)=\exp(-\lambda t)u_0,$ $\mathrm{Re}\,\lambda>0.$

— 후이 장
소스

내가 말했듯이, 나는 이미 개별 주제에 관한 많은 기사를 발견했습니다. 내가 놓친 것은 접근 방식에 대한 일반적인 개요입니다.

— Florian Brucker

1

FWIW에서, PFASST 알고리즘은 많은 (수백) 시간 프로세서들에게도 해밀턴 시스템에 대해 매우 우수한 수렴 (곧 공개 예정)을 보여줍니다. 그럼에도 불구하고, 주목할만한 속도 향상은 거친 전파를 미세한 전파 기보다 훨씬 저렴하게 만드는 데 달려 있습니다. 입자 시스템의 속도를 높이려면 다중 극 확장 또는 다른 다중 물리학 접근법이 필요합니다.

— Matthew Emmett