Parareal, PITA 및 PFASST의 차이점은 무엇입니까?

Parareal, PITA 및 PFASST 알고리즘은 시간에 따른 시간 문제의 솔루션을 병렬화하기위한 도메인 간 기술입니다.

1. 이러한 방법의 기본 원칙은 무엇입니까?

2. 그들 사이의 주요 차이점은 무엇입니까?

3. 하나는 다른 것을 기반으로 말할 수 있습니까? 어떻게?

4. 그들의 응용 프로그램은 어떻습니까?

"어떤 것이 더 낫습니까?"라는 질문에 대한 답이 없다는 것을 알고 있지만, 응용 분야와 검증 조건을 잘 이해하면 도움이됩니다.

이러한 방법은 여기에서 와 F 로 표시되는 두 가지 시간 단계 방법으로 대략적으로 설명 할 수 있습니다.$G$$F$ . 와 F는 모두 솔루션을 근사하여 초기 값 U n ≈ u ( t n ) 을 전파합니다. $G$$F$$U_n \approx u(t_n)$

$$u(t) = u_0 + \int_0^t f(\tau,u(\tau)) \,d\tau$$

발 에 t N + 1 (이다 ˙ 유 = F ( U , t가 ) ). 이 방법이 효율적이기 위해서는 G propagator가 계산 방식보다 비용이 적게 드는 경우 여야합니다 .$t_n$$t_{n+1}$$\dot{u} = f(u,t)$$G$ propagator하므로 G 는 일반적으로 낮은 차수의 방법이다. 방법의 전체 정확도는 F 전파자의 정확도에 의해 제한되기 때문에 , F 는 일반적으로 차수가 높고 또한 G 보다 작은 시간 간격을 사용할 수있다 . 이러한 이유로$F$$G$$F$$F$$G$$G$는 거친 전파자로 지칭되고 는 미세한 전파 로 지칭된다 .$F$

패러 리얼 방법은 n = 0 … N - 1에 대해 첫 번째 근사값 을 계산하여 시작합니다. 여기서 N 은 대략적인 전파자를 사용하여 시간 단계 수입니다. 그런 다음, 패러 리얼 방법은 F 의 병렬 계산 ( t n + 1$U_{n+1}^0$$n = 0 \ldots N-1$$N$과 폼의 각 프로세서에서 초기 조건의 업데이트됩니다.$F(t_{n+1},t_n,U_n^k)$

$$U_{n+1}^{k+1} = G(t_{n+1}, t_n, U_n^{k+1}) + F(t_{n+1}, t_n, U_n^k) - G(t_{n+1}, t_n, U_n^{k})$$

...에 대한 $n = 0 \ldots N-1$$G$$F$

PITA 방법은 Parareal과 매우 유사하지만 이전 업데이트를 추적하고 Krylov 하위 공간 방법을 연상시키는 방식으로 각 프로세서의 초기 조건 만 업데이트합니다. 이를 통해 PITA는 Parareal이 할 수없는 선형 2 차 방정식을 풀 수 있습니다.

PFASST 방법은 두 가지 근본적인 측면에서 패러 리얼 및 PITA 방법과 다릅니다. 첫째, 반복적 인 SDC (스펙트럼 지연 수정) 시간 단계 체계에 의존하고, 둘째는 대략적인 전파자 및 전체 PFASST에 대한 전체 근사 방식 수정 사항을 통합합니다. 전파자의 계층 구조를 사용할 수 있습니다 (단 2 개 대신). SDC를 사용하면 시간 병렬 및 SDC 반복이 하이브리드 화되어 Parareal 및 PITA의 효율성 제약이 완화됩니다. FAS 수정을 사용하면 PFASST의 성긴 전파기를 구성 할 때 유연성이 크게 향상됩니다 (거친 전파를 최대한 저렴하게하면 병렬 효율성이 향상됩니다). 조도 전략에는 시간 조도 (SDC 노드 감소), 공간 조도 (그리드 기반 PDE의 경우), 운영자 조도 및 물리 감소가 포함됩니다.

이것이 알고리즘의 기본, 차이점 및 유사성을 간략히 설명하기를 바랍니다. 자세한 내용은 이 게시물 의 참조 를 참조하십시오.

응용 분야와 관련하여이 방법은 다양한 방정식 (평면 궤도, Navier-Stokes, 입자 시스템, 혼돈 시스템, 구조 역학, 대기 흐름 등)에 적용되었습니다. 주어진 문제에 시간 병렬화를 적용 할 때는 반드시 해결중인 문제에 적합한 방식으로 방법을 확인해야합니다.